Теорема Шотткі

У комплексному аналізі теорема Шотткі — один із класичних результатів так званої геометричної теорії функцій комплексної змінної, яка пов'язана з теоремами Блоха, Блоха — Ландау, Ландау і може використовуватися зокрема для доведення малої і великої теорем Пікара.

Нехай функція ${\displaystyle f(z)}$ є голоморфною у крузі ${\displaystyle |z|<1}$ і не рівною в ньому ${\displaystyle 0}$ і ${\displaystyle 1}$. Тоді справедливою є нерівність ${\displaystyle |f(z)|<\mathrm{\Omega }[f(0),r]}$, де функція ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ залежить тільки від ${\displaystyle f(0)}$ і ${\displaystyle r=|z|}$ і, відповідно, не залежить від конкретної функції.

Доведення має багато спільного з доведенням теореми Ландау і тут використовуються ті ж позначення.

Розглянемо функцію ${\displaystyle f(z)}$, голоморфну всередині круга ${\displaystyle |z|<1}$, що не є рівною в цьому крузі 0 і 1. Введемо допоміжну функцію

${\displaystyle F(z)=\ln \left(\sqrt{\frac{\ln f(z)}{2\pi i}-\frac{\ln f(z)}{2\pi }-1}\right)}$.

Навпаки отримаємо:

${\displaystyle f(z)=-e^{\frac{\pi i}{2}(e^{2F(z)}+e^{-2F(z)})}}$.

Розглянемо також функцію

${\displaystyle \phi (\xi )=-\frac{F(z+(1-r)\xi )-F(z)}{(1-r)F^{\prime }(z)}=\xi +\dots }$

де ${\displaystyle |z|=r}$.

Ця функція буде голоморфною функцією змінної ${\displaystyle \xi }$ всередині круга ${\displaystyle |\xi |<1}$, і також ${\displaystyle \phi (0)=0,{\phi }^{\prime }(0)=1.}$

Згідно теореми Блоха для цієї функції існує круг з центром в деякій точці площини радіуса ${\displaystyle B_1}$, що не залежить від конкретної функції, який повністю належить її області значень. Отже, для функції ${\displaystyle F}$ існує круг з центром в деякій точці радіуса ${\displaystyle B_1(1-r)|F^{\prime }(z)|}$, що належить області значень функції ${\displaystyle F(z+(1-r)\xi )}$ при ${\displaystyle |\xi |<1}$, а тим більше значеннями ${\displaystyle F(\xi )}$ при, ${\displaystyle |\xi |<1}$. Так як, з іншого боку, функція ${\displaystyle F(\xi )}$ при ${\displaystyle |\xi |<1}$ не дорівнює числам множини ${\displaystyle E}$, в доведенні теореми Ландау то має місце нерівність ${\displaystyle B_1(1-r)|F^{\prime }(z)|<b}$ де ${\displaystyle b}$, як і в доведенні теореми Ландау є абсолютною константою, більшою відстані будь-якої точки комплексної площини до множини точок ${\displaystyle E}$. Останню нерівність перепишемо у вигляді

${\displaystyle |F^{\prime }(z)|<\frac{b}{B_1}\frac{1}{1-r}}$.

Ця нерівність виведена в припущенні ${\displaystyle F^{\prime }(z)\ne 0}$, але в разі ${\displaystyle F^{\prime }(z)=0}$ вона є очевидною. Отже, нерівність справедливо для всіх ${\displaystyle z,|z|=r<1.}$.

Відзначимо очевидну тотожність

${\displaystyle F(z)=F(0)+{\int }_0^z{F}^{\prime }(t)dt}$.

Оскільки

${\displaystyle |F^{\prime }(t)|<\frac{b}{B_1}\frac{1}{1-|t|}⩽\frac{b}{B_1}\frac{1}{1-r}}$ при ${\displaystyle |t|⩽r=|z|}$

то вважаючи за шлях інтегрування прямолінійний відрізок довжини ${\displaystyle r}$, що з'єднує точки 0 і ${\displaystyle z}$, отримуємо з останньої тотожності нерівність ${\displaystyle |F(z)|<|F(0)|+\frac{b}{B_1}\frac{1}{1-|t|}}$

Повертаючись до даної функції ${\displaystyle f(z)}$, пов'язаної з ${\displaystyle F(z)}$ і користуючись останньою нерівністю, отримаємо: ${\displaystyle |f(z)|<L(F(0),r)}$, або, помічаючи, що ${\displaystyle F(0)}$ виражається через ${\displaystyle f(0)}$, остаточно знаходимо: ${\displaystyle |f(z)|<\mathrm{\Omega }(f(0),r)}$ де ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ залежить тільки від ${\displaystyle f(0)}$ і ${\displaystyle r=|z|}$.

Утвердженні теореми не вказано точного виду функції у правій стороні нерівності. Після доведення теореми було дано кілька різних варіантів обмежень, зокрема Ларс Альфорс довів таку нерівність

${\displaystyle \log |f(z)|\le \frac{1+|z|}{1-|z|}(7+max(0,\log |f(0)|))}$.

Існують узагальнення теореми для функцій у колі довільного радіуса, що не є рівними деякій скінченній множині комплексний чисел (при цьому мають також виконуватися умови теореми Ландау).

• Теорема Блоха (комплексний аналіз)
• Теорема Ландау
• Теорема Пікара

• Привалов І.І.. Вступ до теорії функцій комплексного змінного. — Х. : ДНТВУ.НКТП, 1938. — 381 с.(укр.)
• Hille E. (2002), Analytic function theory, т. 2 (вид. 2ed., AMS), AMS Chelsea Publishing, ISBN 0821833448
• Viola Carlo (2016). An Introduction to Special Functions. UNITEXT 102 (вид. 1). Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-41344-0.