Теорема Шарковського

Теоре́ма Шарко́вського — теорема з теорії динамічних систем, доведена в 1964 році Олександром Миколайовичем Шарковським. Теорема була першим загальним результатом теорії динамічних систем, при ітеруванні відображень відрізка в себе.

Розглянемо порядок на множині натуральних чисел, який часто називають порядком Шарковського:

${\displaystyle 3}$ ▶ ${\displaystyle 5}$ ▶ ${\displaystyle 7}$ ▶ ${\displaystyle 9}$ ▶ ${\displaystyle ...}$ ▶ ${\displaystyle (2n-1)}$ ▶ ${\displaystyle ...}$ ▶^[1]

▶ ${\displaystyle 2}$·${\displaystyle 3}$ ▶ ${\displaystyle 2}$·${\displaystyle 5}$ ▶ ${\displaystyle 2}$·${\displaystyle 7}$ ▶ ${\displaystyle \dots }$ ▶ ${\displaystyle 2}$·${\displaystyle (2n-1)}$ ▶ ${\displaystyle \dots }$ ▶

▶ ${\displaystyle 2^{2}}$·${\displaystyle 3}$ ▶ ${\displaystyle 2^{2}}$·${\displaystyle 5}$ ▶ ${\displaystyle 2^{2}}$·${\displaystyle 7}$ ▶ ${\displaystyle \dots }$ ▶ ${\displaystyle 2^{2}}$·${\displaystyle (2n-1)}$ ▶ ${\displaystyle \dots }$ ▶

${\displaystyle ...}$

▶ ${\displaystyle 2^{k}}$·${\displaystyle 3}$ ▶ ${\displaystyle 2^{k}}$·${\displaystyle 5}$ ▶ ${\displaystyle 2^{k}}$·${\displaystyle 7}$ ▶ ${\displaystyle \dots }$ ▶ ${\displaystyle 2^{k}}$·${\displaystyle (2n-1)}$ ▶ ${\displaystyle \dots }$

${\displaystyle \dots }$

${\displaystyle \dots }$ ▶ ${\displaystyle 2^{n}}$ ▶ ${\displaystyle 2^{n-1}}$ ▶ ${\displaystyle 2^{n-2}}$ ▶ ${\displaystyle \dots }$ ▶ ${\displaystyle 2^{1}}$ ▶ ${\displaystyle 1}$.

Нехай у неперервної функції на відрізку ${\displaystyle f\colon I}$ → ${\displaystyle I}$ є цикл періоду ${\displaystyle k}$ (тобто існує ${\displaystyle x}$ такий, що ${\displaystyle f^{k}(x)=x}$, але ${\displaystyle f^{i}(x)}$ ≠ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle i<k}$, де ${\displaystyle f^{k}}$ — композиція ${\displaystyle k}$ функції ${\displaystyle f}$), тоді у цієї функції є цикли усіх періодів, які менші ніж ${\displaystyle k}$ в сенсі порядку Шарковського. Найбільшими елементами в порядку Шарковського є непарні числа. Тобто наявність у такого відображення циклу періоду 3 гарантує існування циклу будь-якого іншого періоду. А існування циклу періоду 4 може гарантувати лише існування циклу періоду 2.

Будемо казати, що відрізок ${\displaystyle I}$ покриває відрізок ${\displaystyle K}$ при неперервному відображенні ${\displaystyle f}$ якщо ${\displaystyle f(K)\subset f(I)}$. Будемо позначати це як ${\displaystyle I\xrightarrow {f} K}$.^[2]

Лема 1. Якщо ${\displaystyle I\xrightarrow {f} I}$, то існує ${\displaystyle x_{0}\colon }$ ${\displaystyle f(x_{0})=x_{0}}$. Дане твердження елементарно випливає з теореми про проміжне значення функції. розглянемо функцію

${\displaystyle F(x)=f(x)-x}$.

З того, що відрізок покриває себе випливає, що існує значення ${\displaystyle x\colon f(x)=0}$ і таке значення ${\displaystyle y\colon f(y)=1}$, тоді

${\displaystyle F(x)=f(x)-x\geq 0}$

${\displaystyle F(y)=f(y)-y\leq 0}$,

а отже існує значення ${\displaystyle x_{0}}$, що ${\displaystyle f(x_{0})-x_{0}=0}$.

Лема 2. Якщо ${\displaystyle I\xrightarrow {f} K}$, то існує відрізок ${\displaystyle I_{1}}$: ${\displaystyle f(I_{1})=K}$.

Справедливість цієї леми очевидна з рисунку. Нехай тут ${\displaystyle I=[a,b]}$, ${\displaystyle K=[c,d]}$. В силу властивостей функцій, неперервних на компакті, завжди можна обрати пару точок ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$, як показано на малюнку. Відрізок ${\displaystyle [x,y]}$ і буде шуканим відрізком ${\displaystyle I_{1}}$

Лема 3. Нехай для множини відрізків виконується ${\displaystyle I_{0}\xrightarrow {} I_{1}\xrightarrow {} I_{2}\xrightarrow {} \dots \xrightarrow {} I_{n}}$ тоді існує такий відрізок ${\displaystyle J_{1}\subset I_{0}\colon f(J_{1})=I_{n}}$.

Доведення. З того, що ${\displaystyle I_{0}\xrightarrow {} I_{1}}$ випливає, що існує ${\displaystyle K_{1}\subset I_{0}\colon f(K_{1})=I_{1}}$.

Далі ${\displaystyle I_{1}\xrightarrow {} I_{2}}$, а значить існує ${\displaystyle L_{2}\subset I_{1}\colon f(L_{2})=I_{2}}$, отже ${\displaystyle K_{1}\xrightarrow {} L_{2}}$, а тоді згідно леми 2 існує ${\displaystyle K_{2}\subset K_{1}\subset I_{0}\colon f(K_{2})=L_{2}}$. Таким чином ця лема доведена для трьох відрізків. Для довільної більшої кількості доведення продовжується за індукцією.

Доведемо, що існування циклу періоду 3 забезпечує існування циклу будь-якого іншого періоду. Розглянемо траєкторію циклу періоду 3, утворену точками ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$, як зображено на рисунку. Ця траєкторія утворює два відрізки ${\displaystyle I_{0}}$, ${\displaystyle I_{1}}$. Зауважимо, що це єдиний можливий спосіб утворення циклу періоду 3, з точністю до симетрії.

Неважко бачити, що для даної траєкторії виконується наступне: ${\displaystyle I_{0}\xrightarrow {} I_{1}}$, оскільки початок ${\displaystyle I_{0}}$ переходить в початок ${\displaystyle I_{1}}$, а кінець ${\displaystyle I_{0}}$ в кінець ${\displaystyle I_{1}}$. З аналогічних міркувань видно, що ${\displaystyle I_{1}\xrightarrow {} I_{0}}$ і ${\displaystyle I_{1}\xrightarrow {} I_{1}}$. Цю ситуацію зручно зобразити за допомогою графу.

Отже можна розглянути ланцюжок відрізків, що накривають один одного:

${\displaystyle I_{0}\xrightarrow {} I_{1}\xrightarrow {} I_{1}\xrightarrow {} \dots \xrightarrow {} I_{1}\xrightarrow {} I_{0}}$, де відрізок ${\displaystyle I_{1}}$ входить ${\displaystyle n-1}$ раз. Тоді з леми 3 випливає, що існує відрізок ${\displaystyle K\subset I_{0}\colon f^{n}(K)=I_{0}}$. А це означає, що ${\displaystyle K\xrightarrow {f^{n}} K}$, а значить, це відображення має нерухому точку: ${\displaystyle x_{0}\colon f^{n}(x_{0})=f(x_{0})}$ (лема 1). А отже знайдено точку, яка має період ${\displaystyle n}$ при відображенні ${\displaystyle f}$. Те, що цей період є найменшим періодом даної точки легко зрозуміти з вигляду ланцюжка накриттів. Ця траєкторія починається у відрізку ${\displaystyle I_{0}}$ і після цього жодного разу не повертається в цей відрізок.

Цей частинний випадок теореми Шарковського нерідко називають теоремою Лі-Йорка. Американські вчені Лі та Йорк в 1975 році опублікували статтю Period three implies chaos (період три означає хаос)^[3]. В якій довели, що існування циклу періоду 3 в такій динамічній системі гарантує існування циклу будь-якого періоду. А також, що відрізняє їхню роботу від роботи Шарковського, довели, що в такому випадку динамічна система має ще і хаотичні траєкторії, тобто існує континуум точок, які при ітеруванні відображення відрізку не переходять в себе ні за яку кількість ітерацій. Повне доведення цієї теореми є досить громіздким, із різними способами її доведення можна ознайомитись, наприклад, в цій статті ^[4].

Другою не менш важливою частиною цієї теореми є так звана теорема Шарковського про реалізацію. Перша частина теореми Шарковського говорить про те, що якщо в системі є цикл одного періоду, то це гарантує існування цикла й інших періодів. Але вона нічого не каже про те, чи бувають функції з такими періодами, які припускаються в теоремі.

Теорема Шарковського про реалізацію стверджує, що для кожного натурального числа ${\displaystyle n}$ знайдеться така функція ${\displaystyle f}$, що вона має точку періоду ${\displaystyle n}$, але не має жодної точки періоду ${\displaystyle k}$ ▶ ${\displaystyle n}$.

Розглянемо приклад^[3] функції ${\displaystyle F\colon [1,5]\xrightarrow {} [1,5]}$, яка має період 5, а значить і всі інші періоди, які менші за 5 в сенсі порядку Шарковського, але не має періоду 3. Покладемо

${\displaystyle F(1)=3,\quad F(2)=5,\quad F(3)=4,\quad F(4)=2,\quad F(5)=1.}$

Проміжні значення доповнемо за лінійністю. Тоді

${\displaystyle F^{3}([1,2])=F^{2}([3,5])=F([1,4])=[2,5].}$

Отже, на проміжку ${\displaystyle [1,2]}$ немає нерухомої точки відображення ${\displaystyle F^{3}}$. Аналогічно два інші відрізка теж не містять нерухомих точок ${\displaystyle F^{3}([2,3])=[3,5]}$ і ${\displaystyle F^{3}([4,5])=[1,4]}$. Але бачимо, що ${\displaystyle F^{3}([3,4])=[1,5]}$, тобто на цьому відрізку може бути точка періоду 3. Нехай ${\displaystyle p\in [3,4]}$ нерухома точка відображення ${\displaystyle F^{3}}$. Тоді ${\displaystyle F(p)\in [2,4]}$. Якщо ${\displaystyle F(p)\in [2,3]}$ тоді ${\displaystyle F^{3}(p)\in [1,2]}$, що неможливо, адже ${\displaystyle p}$ точка періоду 3. Отже ${\displaystyle F(p)\in [2,3]}$. Аналогічно ${\displaystyle F^{2}(p)\in [2,4]}$. Якщо ${\displaystyle F^{2}(p)\in [2,3]}$ то ${\displaystyle F^{3}(p)\in [4,5]}$, що теж неможливо. Отже ${\displaystyle F^{2}(p)\in [3,4]}$. Таким чином, вся траєкторія циклу періоду 3 лежить на відрізку ${\displaystyle [3,4]}$. Зазначимо тепер, що на даному проміжку функція є лінійною ${\displaystyle F(x)=10-2x}$. А така функція може мати лише одну нерухому точку — це точка ${\displaystyle x=10/3}$ і це нерухома точка відображення ${\displaystyle F}$, а значить не точка періоду 3.

• Список об'єктів, названих на честь Олександра Шарковського

• Теорема Шарковського на MathWorld [Архівовано 1 грудня 2008 у Wayback Machine.]
• Теорема Шарковського на PlanetMath

1. Шарковский А. Н., О циклах и структуре непрерывного отображения [Архівовано 21 липня 2017 у Wayback Machine.] //Укр. матем. журнал 1965. Т.17. стор. 101—111 (рос.)
2. Misiurewicz M., Remarks on Sharkovsky's Theorem [Архівовано 6 травня 2021 у Wayback Machine.] //Amer. Math. Monthly. 1997. vol. 104. No. 9 (англ.)
3. А. Н. Шарковский, С. Ф. Коляда, А. Г. Спивак, В. В. Федоренко. «Динамика одномерных отображений». Киев: Наукова думка, 1989. 216 с.
4. Ю. А. Данилов. «Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение.» Москва: Постмаркет, 2001. 184 с.
5. Katok A, Hasselblatt B. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge University Press; 1995.
6. Strogatz, S.H. (2015). Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering (2nd ed.). CRC Press. https://doi.org/10.1201/9780429492563