Теорема Руше

Теореми Руше — твердження в комплексному аналізі згідно з яким, якщо функції ${\displaystyle f(z)}$ і ${\displaystyle g(z)}$ голоморфні в однозв'язній області ${\displaystyle G}$, а на контурі ${\displaystyle \partial G}$ також виконується строга нерівність ${\displaystyle |f(z)-g(z)|<|f(z)|,\mathrm{\forall }z\in \partial G}$, то в області ${\displaystyle G}$ функції ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g}$ мають однакову кількість нулів з урахуванням кратності.

З нерівності ${\displaystyle |f(z)-g(z)|<|f(z)|}$ випливає, що функції ${\displaystyle f,g}$ не мають нулів на ${\displaystyle \partial G.}$ Поділивши ${\displaystyle |g(z)-f(z)|=|f(z)-g(z)|}$ на ${\displaystyle |f(z)|}$ одержуємо нерівність ${\displaystyle |F(z)-1|<1,\mathrm{\forall }z\in \partial G,}$ де ${\displaystyle F(z)=\frac{g(z)}{f(z)}.}$

Звідси бачимо, що образ ${\displaystyle \partial G^{\prime }}$ контуру ${\displaystyle \partial G}$ щодо відображення ${\displaystyle w=F(z)}$ лежить всередині відкритого круга радіуса 1 з центром в точці ${\displaystyle w=1.}$ Оскільки 0 не належить цьому кругу, то функція ${\displaystyle \frac{1}{w}}$ буде голоморфною в цьому кругу і, відповідно, на контурі ${\displaystyle \partial G^{\prime }}$ і в обмеженій ним області. Тоді згідно з інтегральною теоремою Коші:

${\displaystyle {\oint }_{\partial G^{\prime }}\frac{1}{w}dw=0.}$

Оскільки ${\displaystyle w=F(z),dw=F^{\prime }(z)dz,}$ то звідси

${\displaystyle {\oint }_{\partial G}\frac{F^{\prime }(z)}{F(z)}dz=0.(\ast )}$

З формули похідної від частки можна одержати:

${\displaystyle \frac{F^{\prime }(z)}{F(z)}=\frac{g^{\prime }(z)}{g(z)}-\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}}$

Підставляючи цей вираз в (*) одержуємо:

${\displaystyle {\oint }_{\partial G}[\frac{g^{\prime }(z)}{g(z)}-\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}]dz=0}$

або

${\displaystyle {\oint }_{\partial G}\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz={\oint }_{\partial G}\frac{g^{\prime }(z)}{g(z)}dz.}$

Оскільки згідно з умовою функції f, g є голоморфними і не мають полюсів, то з принципом аргументу випливає, що кількість нулів для цих функцій в області G має бути однаковою.

• Інтегральна теорема Коші
• Основна теорема про лишки
• Принцип аргументу
• Принцип збереження області

• Привалов І.І.. Вступ до теорії функцій комплексного змінного. — Х. : ДНТВУ.НКТП, 1938. — 381 с.(укр.)
• Соколов Ю.Д. Елементи теорії функцій комплексної змінної. — К.: : Радянська школа, 1954. — 202 с.(укр.)
• Давидов М.О. Елементи теорії функцій комплексної змінної. — К.: : Радянська школа, 1968. — 212 с.(укр.)
• Грищенко О.Ю., Нагнибіда М.І., Настасієв П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: : Вища школа, 1994. — 375 с.(укр.)
• Мельник Т.А. (2015). Комплексний аналіз : підручник (PDF). Київ: ВПЦ "Київський університет". с. 192. ISBN 978-966-439-800-5.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2026. — 2538 с.(укр.)
• Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis (PDF) (англ.) (вид. 3rd.). McGraw Hill. ISBN 0-07-085008-9.(англ.)
• Rudin, Walter (1987). Real and complex analysis (PDF) (англ.) (вид. 3rd). New York: McGraw-Hill. с. 416. ISBN 978-0-07-054234-1.
• Zill Dennis G., Shanahan Patrick D. A first course in complex analysis with applications. — Jones and Bartlett Publishers, Inc. — ISBN 0-7637-1437-2.(англ.)