Теорема Гаусса

Теорема Гаусса — один з основних законів електродинаміки, що входить у систему рівнянь Максвелла.

У Міжнародній системі величин (ISQ) теорема Гаусса має вигляд:

${\displaystyle \int _{S}\mathbf {D} \cdot \mathbf {dS} =Q}$,

де D — вектор електричної індукції, ${\displaystyle Q}$ — сумарний електричний заряд в об'ємі, оточеному поверхнею S:

${\displaystyle Q=\int _{V}\rho dV}$,

де ${\displaystyle \rho }$ — густина заряду.

У гауссовій системі СГСГ теорема Гаусса формулюється

${\displaystyle \int _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {S} =4\pi Q}$,

де ${\displaystyle \mathbf {E} }$ — напруженість електричного поля.

Теорему Гаусса отримав у 1835 році Карл Фрідріх Гаусс, який виходив із закону Кулона. У сучасній електродинаміці зазвичай застосовують протилежний підхід — за основу приймаються рівняння Максвела, одним із яких є теорема Гаусса, а закон Кулона виводиться як наслідок.

Експериментальна перевірка справедливості закону Кулона з високою точністю набагато складніша від експериментальної перевірки теореми Гаусса.

Щоб отримати закон Кулона з теореми Гаусса, розглядають точковий електричний заряд ${\displaystyle q}$ у вакуумі. На поверхні сфери радіусом ${\displaystyle r}$, у центрі якої розташований заряд, електричне поле повинно мати однакове значення, виходячи із міркувань симетрії. У вакуумі вектор електричної індукції ${\displaystyle \mathbf {D} }$ дорівнює напруженості електричного поля ${\displaystyle \mathbf {E} }$ (система СГС). Тому, застосовуючи теорему Гаусса:

${\displaystyle E4\pi r^{2}=4\pi q\,}$.

Звідси основне твердження закону Кулона:

${\displaystyle E={\frac {q}{r^{2}}}}$

У системі ISQ ${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} }$, де ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ — електрична стала. Теорема Гаусса записується:

${\displaystyle \varepsilon _{0}E4\pi r^{2}=q}$.

Звідси:

${\displaystyle E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}}$.

Теорему Гаусса можна записати у вигляді диференціального рівняння в часткових похідних, враховуючи формулу Остроградського — Гаусса (система СГС):

${\displaystyle \int _{S}\mathbf {E} \cdot \mathbf {dS} =\int _{V}{\text{div}}\;\mathbf {E} dV=4\pi \int _{V}\rho dV}$.

Оскільки це співвідношення справедливе для будь-якого об'єму, рівними повинні бути й підінтегральні вирази:

${\displaystyle {\text{div}}\;\mathbf {E} =4\pi \rho }$.

У системі ISQ цей вираз має вигляд:

${\displaystyle {\text{div}}\;\mathbf {D} =\rho }$

Теорема Гаусса, як одне з основних рівнянь електродинаміки, загалом справедлива і для середовища, у своїй основній формі. Наприклад, використовуючи систему СГС:

${\displaystyle \int _{S}\mathbf {E} \cdot \mathbf {dS} =4\pi \int _{V}\rho dV}$,

якщо під Q розуміти всі заряди, враховуючи мікроскопічні. Однак, присутність зовнішнього заряду призводить до перерозподілу мікроскопічних зарядів у речовині. Тому, якщо внести зовнішній заряд q в діелектрик, то деякі із мікроскопічних зарядів, змістившись, покинуть той об'єм, по якому проводиться інтегрування, інші — увійдуть у цей об'єм зовні — речовина поляризується.

Для врахування цих ефектів в електродинаміці суцільних середовищ усі заряди розділяються на вільні та зв'язані. Вільними вважаються ті заряди, які можна привнести зовні, заряджаючи тіла, зв'язаними — електричні заряди електронів та ядер речовини, які в зовнішніх полях зміщуються, одні відносно інших, створюючи поляризацію:

${\displaystyle \rho =\rho _{b}+\rho _{f}}$,

де ${\displaystyle \rho _{b}}$ — густина зв'язаних зарядів, ${\displaystyle \rho _{f}}$ — густина вільних зарядів. Густина зв'язаних зарядів пов'язана з поляризацією: ${\displaystyle \rho _{b}=-{\text{div}}\mathbf {P} }$.

Тоді теорема Гаусса записується у вигляді

${\displaystyle \int _{S}(\mathbf {E} +4\pi \mathbf {P} )\cdot \mathbf {dS} =4\pi \int _{V}\rho _{f}dV}$.

Вводячи вектор електричної індукції

${\displaystyle \mathbf {D} =\mathbf {E} +4\pi \mathbf {P} }$,

отримуємо теорему Гаусса для діелектричних середовищ:

${\displaystyle \int _{S}\mathbf {D} \cdot \mathbf {dS} =4\pi \int _{V}\rho _{f}dV}$,

або в диференціальній формі

${\displaystyle {\text{div}}\;\mathbf {D} =4\pi \rho _{f}}$.

Магнітні заряди (монополі) поки що експериментально не спостерігалися, тому магнітний потік через замкнену поверхню завжди дорівнює нулю:

${\displaystyle \int _{S}\mathbf {B} \cdot \mathbf {dS} =0}$,

• Теорема Остроградського — Гаусса

• Сивухин Д.В. (1977). Общий курс физики. т III. Электричество. Москва: Наука.