YaChudo

Плоска крива

Переглядів: 0. Оновлено 27.10.2026.

У математиці, плоска крива являє собою криву в площині, що може бути Еклідовою площиною, або проєктивною площиною. Найбільш часто досліджувані випадки — гладкі криві площини (включаючи частичні криві площині), і алгебраїчні криві площини.

Гладка крива площини

Гладка крива площини — крива в дійсній евклідовій площині R2 і є одновимірним гладким многовидом. Це означає, що гладка крива площини — крива площини, яка «локально схожа на лінію», в тому сенсі, що біля кожної точки, вона може бути нанесена на карту до лінії гладкой функції. Еквівалентно, гладка крива площині може бути локально описана рівнянням f(x, y) = 0 , де f : R2 > R — гладка функція, і часткові похідні ∂f/∂x і ∂f/∂y ніколи одночасно не дорівнюють 0 в точці кривої.

Алгебрична крива площини

Алгебрична крива площини — крива в проєктивній площині, задана одним багаточленним рівнянням f(x, y) = 0 (або F(x, y, z) = 0, де F — гомогенний поліном в проєктному випадку).

Алгебричні криві вивчаються з 18-го століття.

У кожної алгебричної кривої площині є степінь, степінь рівняння визначення, яке дорівнює, у разі алгебраїчно замкненої області, числу перетинів кривої з лінією в загальному положенні. Наприклад, у кола, даного рівнянням x2 + y2 = 1 є степінь 2. Пласкі алгебраїчні криві 2 степеня без особливостей називають конічними перетинами, а їх проєктивним доповненням, усі ізоморфні, з точністю до проєктивного доповнення, колу x2 + y2 = 1 (який є проєкцією кривої рівняння x2 + y2 - z2= 0). Криві площини 3 степеня називають кубічними кривими плоскості і, якщо вони — без особливостей, овальні криві. Криві четвертого ступеня називають біквадратним кривими плоскості.

Приклади

Назва неявне рівняння Параметричне рівняння Функція Графік
Пряма лінія a x + b y = c {\displaystyle ax+by=c} ( x 0 + α t , y 0 + β t ) {\displaystyle (x_{0}+\alpha t,y_{0}+\beta t)} y = m x + c {\displaystyle y=mx+c}
Коло x 2 + y 2 = r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} ( r cos ⁡ t , r sin ⁡ t ) {\displaystyle (r\cos t,r\sin t)} framless
Парабола y − x 2 = 0 {\displaystyle y-x^{2}=0} ( t , t 2 ) {\displaystyle (t,t^{2})} y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}}
Еліпс x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} ( a cos ⁡ t , b sin ⁡ t ) {\displaystyle (a\cos t,b\sin t)} framless
Гіпербола x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} ( a cosh ⁡ t , b sinh ⁡ t ) {\displaystyle (a\cosh t,b\sinh t)}


Див. також

Посилання

Джерело: стаття у Вікіпедії та історія редагувань (автори).