Похідна Шварца

У математиці похідна Шварца (шварціан) — це оператор, подібний до похідної, який є інваріантним відносно перетворень Мебіуса. Тому він з’являється в теорії комплексної проєктивної прямої і, зокрема, в теорії модулярних форм та гіпергеометричних функцій. Він відіграє важливу роль у теорії унівалентних функцій, конформних відображень та просторів Тейхмюллера. Названий на честь німецького математика Германа Шварца.

Похідна Шварца голоморфної функції f однієї комплексної змінної z визначається формулою

$${\displaystyle (Sf)(z)=\left({\frac {f''(z)}{f'(z)}}\right)'-{\frac {1}{2}}\left({\frac {f''(z)}{f'(z)}}\right)^{2}={\frac {f'''(z)}{f'(z)}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {f''(z)}{f'(z)}}\right)^{2}.}$$

Та сама формула також визначає похідну Шварца для C³-функції однієї дійсної змінної. Часто використовується альтернативне позначення

$${\displaystyle {f,z}=(Sf)(z)}$$

.

Похідна Шварца будь-якого перетворення Мебіуса

$${\displaystyle g(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$$

дорівнює нулю. Навпаки, перетворення Мебіуса — єдині функції з цією властивістю. Отже, похідна Шварца точно вимірює, наскільки функція не є перетворенням Мебіуса.^[1]

Якщо g — перетворення Мебіуса, то композиція g o f має ту саму похідну Шварца, що й f; з іншого боку, похідна Шварца композиції f o g задається правилом ланцюга

$${\displaystyle (S(f\circ g))(z)=(Sf)(g(z))\cdot g'(z)^{2}.}$$

Більш загально, для будь-яких достатньо диференційовних функцій f та g

$${\displaystyle S(f\circ g)=\left((Sf)\circ g\right)\cdot (g')^{2}+Sg.}$$

Коли f та g — гладкі дійснозначні функції, це означає, що всі ітерації функції з від’ємним (або додатним) шварціаном залишатимуться від’ємними (відповідно додатними), — факт, корисний у дослідженні одновимірної динаміки.^[2]

Введемо функцію двох комплексних змінних^[3]

$${\displaystyle F(z,w)=\log \left({\frac {f(z)-f(w)}{z-w}}\right),}$$

тоді її друга змішана частинна похідна дорівнює

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}F(z,w)}{\partial z,\partial w}}={f^{\prime }(z)f^{\prime }(w) \over (f(z)-f(w))^{2}}-{1 \over (z-w)^{2}},}$$

а похідна Шварца задається формулою:

$${\displaystyle (Sf)(w)=\left.6\cdot {\partial ^{2}F(z,w) \over \partial z,\partial w}\right\vert _{z=w}.}$$

Похідна Шварца має просту формулу інверсії, що міняє місцями залежну та незалежну змінні. Маємо

$${\displaystyle (Sw)(v)=-\left({\frac {dw}{dv}}\right)^{2}(Sv)(w)}$$

або більш явно, ${\displaystyle Sf+(f')^{2}((Sf^{-1})\circ f)=0}$. Це випливає з наведеного вище правила ланцюга.

Вільям Терстон інтерпретує похідну Шварца як міру того, наскільки конформне відображення відхиляється від перетворення Мебіуса.^[1] Нехай ${\displaystyle f}$ — конформне відображення в околі точки ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} .}$ Тоді існує єдине перетворення Мебіуса ${\displaystyle M}$ таке, що ${\displaystyle M}$ і ${\displaystyle f}$ мають однакові похідні 0-, 1- та 2-го порядків у точці ${\displaystyle z_{0}.}$

Тоді ${\displaystyle (M^{-1}\circ f)(z)=z_{0}+(z-z_{0})+{\tfrac {1}{6}}a(z-z_{0})^{3}+\cdots .}$ Щоб явно знайти ${\displaystyle a,}$ достатньо розв’язати випадок ${\displaystyle z_{0}=0.}$ Нехай ${\displaystyle M^{-1}(z)=(Az+B)/(Cz+1),}$ і знайдемо ${\displaystyle A,B,C}$, які роблять перші три коефіцієнти ${\displaystyle M^{-1}\circ f}$ рівними ${\displaystyle 0,1,0.}$ Підставивши це в четвертий коефіцієнт, дістаємо ${\displaystyle a=(Sf)(z_{0})}$.

З огляду на те, що$${\displaystyle (M^{-1}\circ f)(z)=z_{0}+(z-z_{0})+{\tfrac {1}{6}}Sf(z_{0})(z-z_{0})^{3}+\cdots }$$до третього порядку, ця функція відображає коло ${\displaystyle z_{0}+re^{i\theta }}$ на криву ${\displaystyle z_{0}+re^{i\theta }(1+{\tfrac {1}{6}}Sf(z_{0})r^{2}e^{2i\theta })}$. Це приблизно еліпс із півосями ${\displaystyle r(1\pm {\tfrac {1}{6}}Sf(z_{0})r^{2})}$. Оскільки перетворення Мебіуса завжди переводять кола в кола або прямі, перетворення Мебіуса вимірює, наскільки ${\displaystyle f}$ відхиляється від перетворення Мебіуса, адже воно переводить кола в некруглі криві.

Для диференційовної функції ${\displaystyle f}$ вона перетворює подвійне відношення ${\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {(z_{3}-z_{1})(z_{4}-z_{2})}{(z_{3}-z_{2})(z_{4}-z_{1})}}}$. Воно інваріантне відносно перетворення Мебіуса:$${\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})=(f(z_{1}),f(z_{2});f(z_{3}),f(z_{4}))}$$Загалом, якщо 4 точки нескінченно близькі, то перетворення має вигляд$${\displaystyle {\frac {(f(z_{1}),f(z_{2});f(z_{3}),f(z_{4}))}{(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})}}=1+{\frac {1}{6}}(Sf)(z)(z_{1}-z_{2})(z_{3}-z_{4})+O(dz^{3})}$$зокрема, це можна інтерпретувати як квадратичну диференціальну форму. Це негайно дає правило ланцюга$${\displaystyle S(f\circ g)=\left((Sf)\circ g\right)\cdot (g')^{2}+Sg.}$$

Розглянемо лінійне другопорядкове звичайне диференціальне рівняння $${\displaystyle x''(t)+p(t)x(t)=0}$$ де ${\displaystyle x}$ — дійснозначна функція дійсного параметра ${\displaystyle t}$. Нехай ${\displaystyle X}$ позначає двовимірний простір розв’язків. Для ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ нехай ${\displaystyle \operatorname {ev} _{t}:X\to \mathbb {R} }$ — функціонал обчислення значення ${\displaystyle \operatorname {ev} _{t}(x)=x(t)}$. Відображення ${\displaystyle t\mapsto \operatorname {ker} (\operatorname {ev} _{t})}$ задає для кожної точки ${\displaystyle t}$ області визначення ${\displaystyle X}$ одновимірний лінійний підпростір простору ${\displaystyle X}$. Тобто ядро визначає відображення з дійсної прямої в дійсну проєктивну пряму. Похідна Шварца цього відображення коректно визначена і фактично дорівнює ${\displaystyle 2p(t)}$ (Ovsienko та Tabachnikov, 2005).

Завдяки цій інтерпретації шварціана, якщо два дифеоморфізми одного й того самого відкритого інтервалу в ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}}$ мають однакову похідну Шварца, то вони (локально) пов’язані елементом загальної лінійної групи, що діє на двовимірному просторі розв’язків одного й того самого диференціального рівняння, тобто дробово-лінійним перетворенням ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}}$.

Або ж розглянемо лінійне звичайне диференціальне рівняння другого порядку в комплексній площині^[4] $${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+Q(z)f(z)=0.}$$

Нехай ${\displaystyle f_{1}(z)}$ і ${\displaystyle f_{2}(z)}$ — два лінійно незалежні голоморфні розв’язки. Тоді відношення ${\displaystyle g(z)=f_{1}(z)/f_{2}(z)}$ задовольняє

$${\displaystyle (Sg)(z)=2Q(z)}$$

на області визначення, де задані ${\displaystyle f_{1}(z)}$ і ${\displaystyle f_{2}(z)}$, та ${\displaystyle f_{2}(z)\neq 0.}$ Обернене твердження також істинне: якщо така g існує й є голоморфною на однозв’язній області, то можна знайти два розв’язки ${\displaystyle f_{1}}$ та ${\displaystyle f_{2}}$, і до того ж вони визначені з точністю до спільного множника масштабу.

Коли лінійне звичайне диференціальне рівняння другого порядку можна звести до наведеної форми, отриману Q інколи називають Q-значенням рівняння.

Зауважимо, що гіпергеометричне диференціальне рівняння Гауса можна звести до цієї форми, і тому пари розв’язків гіпергеометричного рівняння пов’язані таким чином.

Якщо f — голоморфна функція в одиничному диску D, то В. Краус (1932) та Негарі (1949) довели, що необхідною умовою для унівалентності f є^[5]

$${\displaystyle |S(f)|\leq 6\left(1-|z|^{2}\right)^{-2}.}$$

Навпаки, якщо f(z) — голоморфна функція на D така, що

$${\displaystyle |S(f)(z)|\leq 2\left(1-|z|^{2}\right)^{-2},}$$

то Негарі довів, що f є унівалентною.^[6]

Зокрема, достатньою умовою унівалентності є^[7]

$${\displaystyle |S(f)|\leq 2.}$$

Похідну Шварца та пов’язане з нею звичайне диференціальне рівняння другого порядку можна використати, щоб знайти єдине конформне відображення між верхньою півплощиною або одиничним диском і будь-яким обмеженим многокутником у комплексній площині, ребра якого є дугами кіл або прямими. Для многокутників із прямими ребрами це зводиться до відображення Шварца—Крістоффеля, яке можна вивести безпосередньо без використання похідної Шварца. Так звані додаткові параметри (accessory parameters), що виникають як сталі інтегрування, пов’язані з власними значеннями відповідного диференціального рівняння другого порядку. Ще у 1890 році Фелікс Кляйн досліджував випадок чотирикутників у термінах диференціального рівняння Ламе.^[8][9][10]

Нехай Δ — многокутник із дугами кіл із кутами ${\displaystyle \pi \alpha _{1},\ldots ,\pi \alpha _{n}}$ у порядку за годинниковою стрілкою. Нехай f : H → Δ — голоморфне відображення, що неперервно продовжується до відображення меж. Нехай вершинам відповідають точки ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ на дійсній осі. Тоді p(x) = S(f)(x) є дійснозначною, коли x — дійсне і відмінне від усіх точок a_i. За принципом відбиття Шварца p(x) продовжується до раціональної функції на комплексній площині з подвійним полюсом у a_i:

$${\displaystyle p(z)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1-\alpha _{i}^{2}}{2\left(z-a_{i}\right)^{2}}}+{\frac {\beta _{i}}{z-a_{i}}}.}$$

Дійсні числа β_i називають додатковими параметрами. Вони підпорядковуються трьом лінійним обмеженням:

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\sum _{i}\beta _{i}&=&0\\\sum _{i}\left(2a_{i}\beta _{i}+(1-\alpha _{i}^{2})\right)&=&0\\\sum _{i}\left(a_{i}^{2}\beta _{i}+a_{i}(1-\alpha _{i}^{2})\right)&=&0\end{array}}}$$

що відповідають зануленню коефіцієнтів при ${\displaystyle z^{-1},z^{-2}}$ та ${\displaystyle z^{-3}}$ у розкладі p(z) біля z = ∞. Тоді відображення f(z) можна подати як

$${\displaystyle f(z)={u_{1}(z) \over u_{2}(z)},}$$

де ${\displaystyle u_{1}(z)}$ і ${\displaystyle u_{2}(z)}$ — лінійно незалежні голоморфні розв’язки лінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку

$${\displaystyle u''(z)+{\tfrac {1}{2}}p(z)u(z)=0.}$$

Існує n−3 лінійно незалежних додаткових параметрів, які на практиці може бути складно визначити.

Для трикутника, коли n = 3, додаткових параметрів немає. Звичайне диференціальне рівняння еквівалентне гіпергеометричному диференціальному рівнянню, а f(z) є трикутною функцією Шварца, яку можна записати через гіпергеометричні функції.

Для чотирикутника додаткові параметри залежать від однієї незалежної змінної λ. Записуючи U(z) = q(z)u(z) для відповідного вибору q(z), рівняння набуває вигляду

$${\displaystyle a(z)U''(z)+b(z)U'(z)+\left[c(z)+\lambda \right]U(z)=0.}$$

Отже ${\displaystyle q(z)u_{i}(z)}$ є власними функціями задачі Штурма—Ліувілля на інтервалі ${\displaystyle [a_{i},a_{i+1}]}$. За теоремою Штурма про розділення, ненульовість ${\displaystyle u_{2}(z)}$ змушує λ бути найменшим власним значенням.

Універсальний простір Тейхмюллера визначається як простір дійсно аналітичних квазіконформних відображень одиничного диска D, або еквівалентно верхньої півплощини H, у себе, причому два відображення вважаються еквівалентними, якщо на межі одне отримується з іншого композицією з перетворенням Мебіуса. Ототожнюючи D з нижньою півсферою сфери Рімана, будь-яке квазіконформне самовідображення f нижньої півсфери природно відповідає конформному відображенню верхньої півсфери ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ в себе. Насправді ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ визначається як обмеження на верхню півсферу розв’язку рівняння Бельтрамі

$${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial {\bar {z}}}}=\mu (z){\frac {\partial F}{\partial z}},}$$

де μ — обмежена вимірна функція, визначена як

$${\displaystyle \mu (z)={\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\bigg /}{\frac {\partial f}{\partial z}}}$$

на нижній півсфері та продовжена нулем на верхню півсферу.

Ототожнюючи верхню півсферу з D, Ліпман Берс використав похідну Шварца, щоб визначити відображення

$${\displaystyle g=S({\tilde {f}}),}$$

яке вкладає універсальний простір Тейхмюллера у відкриту підмножину U простору обмежених голоморфних функцій g на D з рівномірною нормою. Фредерік Герінг показав у 1977 році, що U є внутрішністю замкненої підмножини похідних Шварца унівалентних функцій.^[11][12][13]

Для компактної ріманової поверхні S роду більшого за 1 її універсальним накриттям є одиничний диск D, на якому її фундаментальна група Γ діє перетвореннями Мебіуса. Простір Тейхмюллера поверхні S можна ототожнити з підпростором універсального простору Тейхмюллера, інваріантним відносно Γ. Голоморфні функції g мають властивість, що

$${\displaystyle g(z),dz^{2}}$$

є інваріантним відносно Γ, і тому задають квадратичні диференціали на S. У такий спосіб простір Тейхмюллера поверхні S реалізується як відкрита підмножина скінченновимірного комплексного векторного простору квадратичних диференціалів на S.

Властивість перетворення

$${\displaystyle S(f\circ g)=\left(S(f)\circ g\right)\cdot (g')^{2}+S(g).}$$

дозволяє інтерпретувати похідну Шварца як неперервний 1-когомологічний кокраїк (1-cocycle) або перехресний гомоморфізм групи дифеоморфізмів кола з коефіцієнтами в модулі щільностей степеня 2 на колі.^[14] Нехай F_λ(S¹) — простір тензорних щільностей степеня λ на S¹. Група орієнтаційно-зберігальних дифеоморфізмів S¹, Diff(S¹), діє на F_λ(S¹) через проштовхування. Якщо ${\displaystyle f\in \mathrm {Diff} (S^{1})}$, розглянемо відображення

$${\displaystyle f\to S(f^{-1}).}$$

Мовою когомології груп наведене вище ланцюгове правило означає, що це відображення є 1-кокраїком на Diff(S¹) з коефіцієнтами в F₂(S¹). Справді,

$${\displaystyle H^{1}({\text{Diff}}(\mathbf {S} ^{1});F_{2}(\mathbf {S} ^{1}))=\mathbf {R} }$$

і 1-кокраїк, що породжує цю когомологію, — це ${\displaystyle f\mapsto S(f^{-1})}$. Обчислення 1-когомології є окремим випадком більш загального результату

$${\displaystyle H^{1}({\text{Diff}}(\mathbf {S} ^{1});F_{\lambda }(\mathbf {S} ^{1}))=\mathbf {R} \qquad {\text{для }}\lambda =0,1,2,,{\text{і}},,(0),,{\text{інакше.}}}$$

Зауважимо, що якщо G — група, а M — G-модуль, то тотожність, що визначає перехресний гомоморфізм c з G у M, можна виразити через стандартні гомоморфізми груп: вона кодується гомоморфізмом Шаблон:Phi з G у напівпрямий добуток ${\displaystyle M\rtimes G}$ так, що композиція Шаблон:Phi з проєкцією ${\displaystyle M\rtimes G}$ на G є тотожним відображенням; відповідність задається відображенням

$${\displaystyle C(g)=(c(g),g).}$$

Перехресні гомоморфізми утворюють векторний простір і містять як підпростір когранічні (coboundary) перехресні гомоморфізми

$${\displaystyle b(g)=g\cdot m-m}$$

в M. Простий аргумент усереднення показує, що якщо K — компактна група, а V — топологічний векторний простір, на якому K діє неперервно, то вищі когомологічні групи зникають:

$${\displaystyle H^{m}(V,K)=(0)\qquad {\text{для }}m>0.}$$

Зокрема, для 1-кокраїків χ, що задовольняють

$${\displaystyle \chi (xy)=\chi (x)+x\cdot \chi (y),}$$

усереднення за y, використовуючи лівоінваріантність міри Гаара на K, дає

$${\displaystyle \chi (x)=m-x\cdot m,}$$

де

$${\displaystyle m=\int _{K}\chi (y),dy.}$$

Отже, після усереднення можна вважати, що c задовольняє умову нормалізації ${\displaystyle c(x)=0}$ для ${\displaystyle x\in \mathrm {Rot} (S^{1})}$. Зауважимо, що якщо будь-який елемент x у G задовольняє c(x) = 0, то

$${\displaystyle C(x)=(0,x).}$$

Але тоді, оскільки C — гомоморфізм,

$${\displaystyle C(xgx^{-1})=C(x)C(g)C(x)^{-1},}$$

тож c задовольняє умову еквіваріантності

$${\displaystyle c(xgx^{-1})=x\cdot c(g).}$$

Таким чином, можна вважати, що кокраїк задовольняє ці умови нормалізації для Rot(S¹). Похідна Шварца фактично зникає щоразу, коли x є перетворенням Мебіуса, яке відповідає SU(1,1). Два інші 1-цикли, обговорені нижче, зникають лише на Rot(S¹) (λ = 0, 1).

Існує інфінітезимальна версія цього результату, що дає 1-кокраїк для Vect(S¹), алгебри Лі гладких векторних полів, і, отже, для алгебри Вітта, підалгебри тригонометричних поліноміальних векторних полів. Дійсно, коли G — група Лі і дія G на M є гладкою, існує версія перехресного гомоморфізму на рівні алгебр Лі, що отримується диференціюванням відповідних гомоморфізмів у тотожності. Це також має сенс для Diff(S¹) і приводить до 1-кокраїка

$${\displaystyle s\left(f,{d \over d\theta }\right)={d^{3}f \over d\theta ^{3}},(d\theta )^{2}}$$

який задовольняє тотожність

$${\displaystyle s([X,Y])=X\cdot s(Y)-Y\cdot s(X).}$$

У випадку алгебри Лі когранічні відображення мають вигляд

$${\displaystyle b(X)=X\cdot m,\qquad m\in M}$$

В обох випадках 1-когомологія визначається як простір перехресних гомоморфізмів за модулем когранічних. Природна відповідність між груповими гомоморфізмами та гомоморфізмами алгебр Лі приводить до «включення ван Еста»

$${\displaystyle H^{1}(\operatorname {Diff} (\mathbf {S} ^{1});F_{\lambda }(\mathbf {S} ^{1}))\hookrightarrow H^{1}(\operatorname {Vect} (\mathbf {S} ^{1});F_{\lambda }(\mathbf {S} ^{1})),}$$

і таким чином обчислення зводиться до обчислення когомології алгебри Лі. За неперервністю це зводиться до знаходження перехресних гомоморфізмів Шаблон:Phi алгебри Вітта в F_λ(S¹). Умови нормалізації для групового перехресного гомоморфізму дають такі додаткові умови для Шаблон:Phi:

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\varphi (\operatorname {Ad} (x)X)&=&x\cdot \varphi (X)\\\varphi \!\left({\dfrac {d}{d\theta }}\right)&=&0\end{array}}}$$

для x з Rot(S¹).

Дотримуючись домовленостей Kac та Raina, (1987), базис алгебри Вітта задається як

$${\displaystyle d_{n}=ie^{in\theta },{d \over d\theta }}$$

так що

$${\displaystyle [d_{m},d_{n}]=(m-n)d_{m+n}.}$$

Базис для комплексифікації F_λ(S¹) задається як

$${\displaystyle v_{n}=e^{in\theta },(d\theta )^{\lambda },}$$

так що

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}d_{m}\cdot v_{n}&=&-(n+\lambda m)\,v_{n+m}\\g_{\zeta }\cdot v_{n}&=&\zeta ^{n}\,v_{n}\end{array}}}$$

для ${\displaystyle g_{\zeta }\in \mathrm {Rot} (S^{1})=\mathbf {T} }$. Це змушує

$${\displaystyle \varphi (d_{n})=a_{n}\cdot v_{n}}$$

для деяких коефіцієнтів a_n. Умова перехресного гомоморфізму

$${\displaystyle \varphi ([X,Y])=X\varphi (Y)-Y\varphi (X)}$$ дає рекурентне співвідношення для ${\displaystyle a_{n}}$:

$${\displaystyle (m-n)a_{m+n}=(m+\lambda n)a_{m}-(n+\lambda m)a_{n}.}$$

Умова

$${\displaystyle \varphi \left({\frac {d}{d\theta }}\right)=0}$$

означає, що ${\displaystyle a_{0}=0}$. Із цієї умови та рекурентного співвідношення випливає, що (з точністю до скалярного множника) існує єдиний ненульовий розв’язок тоді й тільки тоді, коли ${\displaystyle \lambda =0,1,2}$, а інакше розв’язок лише нульовий. Розв’язок для ${\displaystyle \lambda =1}$ відповідає груповому 1-кокраїку

$${\displaystyle \varphi _{1}(f)={\frac {f''}{f'}}d\theta .}$$

Розв’язок для ${\displaystyle \lambda =0}$ відповідає груповому 1-кокраїку

$${\displaystyle \varphi _{0}(f)=\log f'.}$$

Відповідні 1-кокраїки алгебри Лі для λ = 0, 1, 2 задаються (з точністю до скалярного множника) формулою

$${\displaystyle \varphi _{\lambda }\left(F{\frac {d}{d\theta }}\right)={\frac {d^{\lambda +1}F}{d\theta ^{\lambda +1}}},(d\theta )^{\lambda }.}$$

Перехресні гомоморфізми, своєю чергою, приводять до центрального розширення Diff(S¹) та його алгебри Лі Vect(S¹), так званої алгебри Вірасоро.

Група Diff(S¹) та її центральне розширення також природно з’являються в контексті теорії Тейхмюллера та струнної теорії.^[15] Зокрема, гомеоморфізми S¹, індуковані квазіконформними самовідображеннями D, — це саме квазісиметричні гомеоморфізми S¹; тобто такі гомеоморфізми, які не переводять чотири точки з подвійним відношенням 1/2 у точки з подвійним відношенням, близьким до 1 або 0. Беручи граничні значення, універсальний простір Тейхмюллера можна ототожнити з фактором групи квазісиметричних гомеоморфізмів QS(S¹) за підгрупою перетворень Мебіуса Moeb(S¹). (Його також можна природно реалізувати як простір квазікіл у C.) Оскільки

$${\displaystyle \operatorname {Moeb} (\mathbf {S} ^{1})\subset \operatorname {Diff} (\mathbf {S} ^{1})\subset {\text{QS}}(\mathbf {S} ^{1})}$$

то однорідний простір Diff(S¹)/Moeb(S¹) природно є підпростором універсального простору Тейхмюллера. Це також природний комплексний многовид, і ця та інші природні геометричні структури узгоджуються зі структурами на просторі Тейхмюллера. Двоїстий простір до алгебри Лі Diff(S¹) можна ототожнити з простором операторів Гілла на S¹

$${\displaystyle {d^{2} \over d\theta ^{2}}+q(\theta ),}$$

а коад’юнктна дія групи Diff(S¹) залучає похідну Шварца. Обернений дифеоморфізм f переводить оператор Гілла в

$${\displaystyle {d^{2} \over d\theta ^{2}}+f^{\prime }(\theta )^{2},q\circ f(\theta )+{\tfrac {1}{2}}S(f)(\theta ).}$$

Похідну Шварца та інші 1-кокраїки, визначені на Diff(S¹) можна поширити на біголоморфні відображення між відкритими множинами в комплексній площині. У цьому випадку локальний опис приводить до теорії аналітичних псевдогруп, що формалізує теорію нескінченновимірних груп і алгебр Лі, вперше систематично досліджену Елі Картаном у 1910-х роках. Це пов’язано з афінними та проєктивними структурами на ріманових поверхнях, а також із теорією шварціанових або проєктивних зв’язностей, які обговорювалися у працях Ганнінга, Шиффера та Холі.

Голоморфна псевдогрупа Γ на C складається з колекції біголоморфізмів f між відкритими множинами U та V у C, яка містить тотожні відображення для кожного відкритого U, замкнена відносно звуження на підвідкриті множини, замкнена відносно композиції (коли це можливо), замкнена відносно обернення, і така, що якщо біголоморфізм локально належить Γ, то він також належить Γ. Псевдогрупу називають транзитивною, якщо для будь-яких z та w у C існує біголоморфізм f з Γ такий, що f(z) = w. Окремим випадком транзитивних псевдогруп є плоскі (flat) псевдогрупи, тобто такі, що містять усі комплексні трансляції T_b(z) = z + b. Нехай G — група (відносно композиції) перетворень, заданих формальними степеневими рядами F(z) = a₁z + a₂z² + .... з a₁ ≠ 0. Голоморфна псевдогрупа Γ визначає підгрупу A групи G, а саме підгрупу, що задається розкладом Тейлора в точці 0 (або «джетом») елементів f з Γ, для яких f(0) = 0. Навпаки, якщо Γ є плоскою, то вона однозначно визначається A: біголоморфізм f на U належить Γ тоді й лише тоді, коли степеневий ряд для T_–f(a) ∘ f ∘ T_a належить A для кожного a з U; іншими словами, формальний степеневий ряд для f у точці a задається елементом A після заміни z на z − a; або коротше, всі джети f належать A.^[16]

Група G має природний гомоморфізм на групу G_k k-джетів, що отримуються усіченням степеневого ряду до члена z^k. Ця група діє вірно на просторі многочленів степеня k (відкидаючи члени порядку, вищого за k). Усічення аналогічно визначають гомоморфізми G_k на G_{k − 1}; ядро складається з відображень f із f(z) = z + bz^k, отже є абелевим. Тому група G_k є розв’язною; це також видно з того, що вона має трикутний вигляд у базисі мономів.

Плоску псевдогрупу Γ називають «визначеною диференціальними рівняннями», якщо існує скінченне ціле число k таке, що гомоморфізм A у G_k є вірним і образ є замкненою підгрупою. Найменше таке k називають порядком псевдогрупи Γ. Існує повна класифікація всіх підгруп A, що виникають таким чином, за додаткових припущень: образ A у G_k є комплексною підгрупою і G₁ збігається з C*. Це означає, що псевдогрупа також містить масштабні перетворення S_a(z) = az для a ≠ 0, тобто A містить кожний многочлен az з a ≠ 0.

Єдині можливості в цьому випадку такі: або k = 1 та A = {az: a ≠ 0}; або k = 2 та A = {az/(1−bz) : a ≠ 0}. Перший випадок — псевдогрупа, визначена афінною підгрупою комплексної групи Мебіуса (перетворення az + b, що фіксують ∞); другий — псевдогрупа, визначена всією комплексною групою Мебіуса.

Цю класифікацію легко звести до задачі про алгебри Лі, оскільки формальна алгебра Лі ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ групи G складається з формальних векторних полів F(z) d/dz, де F — формальний степеневий ряд. Вона містить поліноміальні векторні поля з базисом d_n = zⁿ⁺¹ d/dz (n ≥ 0), що є підалгеброю алгебри Вітта. Дужки Лі задаються як [d_m,d_n] = (n − m)d_m+n. Ці поля діють на просторі многочленів степеня ≤ k диференціюванням — його можна ототожнити з C[[z]]/(z^k+1) — а образи d₀, ..., d_{k – 1} утворюють базис алгебри Лі групи G_k. Зауважимо, що Ad(S_a) d_n= a^–n d_n. Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ — алгебра Лі групи A: вона ізоморфна підалгебрі алгебри Лі G_k. Вона містить d₀ і є інваріантною відносно Ad(S_a). Оскільки ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ є підалгеброю Вітта, єдина можливість — мати базис d₀ або базис d₀, d_n для деякого n ≥ 1. Тоді існують відповідні групові елементи вигляду f(z) = z + bzⁿ⁺¹ + .... Композиція з трансляціями дає T_–f(ε) ∘ f ∘ T _ε(z) = cz + dz² + ... з c, d ≠ 0. Якщо n ≠ 2, це суперечить формі підгрупи A; отже n = 2.^[17]

Похідна Шварца пов’язана з псевдогрупою комплексної групи Мебіуса. Зокрема, якщо f — біголоморфізм, визначений на V, то Шаблон:Phi₂(f) = S(f) є квадратичним диференціалом на V. Якщо g — біголоморфізм, визначений на U, і g(V) ⊆ U, то S(f ∘ g) та S(g) є квадратичними диференціалами на U; крім того, S(f) є квадратичним диференціалом на V, тож g_∗S(f) також є квадратичним диференціалом на U. Тотожність

$${\displaystyle S(f\circ g)=g_{*}S(f)+S(g)}$$

є аналогом 1-кокраїка для псевдогрупи біголоморфізмів з коефіцієнтами в голоморфних квадратичних диференціалах. Аналогічно ${\displaystyle \varphi _{0}(f)=\log f'}$ і ${\displaystyle \varphi _{1}(f)=f''/f'}$ є 1-кокраїками для тієї ж псевдогрупи зі значеннями в голоморфних функціях та голоморфних диференціалах. Загалом 1-кокраїк можна визначити для голоморфних диференціалів будь-якого порядку так, що

$${\displaystyle \varphi (f\circ g)=g_{*}\varphi (f)+\varphi (g).}$$

Застосовуючи наведену тотожність до вкладень j, дістаємо Шаблон:Phi(j) = 0; отже, якщо f₁ є обмеженням f₂, тобто f₂ ∘ j = f₁, то Шаблон:Phi(f₁) = Шаблон:Phi (f₂). З іншого боку, локальний голоморфний потік, заданий голоморфними векторними полями (експонента векторних полів), породжує голоморфну псевдогрупу локальних біголоморфізмів. Якщо 1-кокраїк Шаблон:Phi задовольняє відповідні умови неперервності або аналітичності, він індукує 1-кокраїк голоморфних векторних полів, також сумісний з обмеженням. Відповідно, він визначає 1-кокраїк на голоморфних векторних полях на C:^[18]

$${\displaystyle \varphi ([X,Y])=X\varphi (Y)-Y\varphi (X).}$$

Обмежуючись на алгебру Лі поліноміальних векторних полів з базисом d_n = zⁿ⁺¹ d/dz (n ≥ −1), ці кокраїки можна визначити тими самими методами когомології алгебр Лі (як у попередньому розділі про перехресні гомоморфізми). Там обчислення стосувалося всієї алгебри Вітта, що діє на щільностях порядку k, тоді як тут ідеться лише про підалгебру, що діє на голоморфних (або поліноміальних) диференціалах порядку k. Знову ж, припускаючи, що Шаблон:Phi зануляється на обертаннях C, існують ненульові 1-кокраїки, єдині з точністю до скалярного множника, лише для диференціалів степенів 0, 1 і 2, що задаються тією самою формулою похідних

$${\displaystyle \varphi _{k}{\left(p(z){\frac {d}{dz}}\right)}=p^{(k+1)}(z),(dz)^{k},}$$

де p(z) — многочлен.

Ці 1-кокраїки визначають три псевдогрупи умовою Шаблон:Phi_k(f) = 0: групу масштабувань (k = 0); афінну групу (k = 1); і всю комплексну групу Мебіуса (k = 2). Отже, ці 1-кокраїки є спеціальними звичайними диференціальними рівняннями, які визначають псевдогрупу. Більш суттєво, їх можна використати для визначення відповідних афінних або проєктивних структур і зв’язностей на ріманових поверхнях. Якщо Γ — псевдогрупа гладких відображень на Rⁿ, то топологічний простір M називають таким, що має Γ-структуру, якщо він має систему карт f, які є гомеоморфізмами з відкритих множин V_i у M на відкриті множини U_i у Rⁿ так, що для кожного непорожнього перетину природне відображення з f_i (U_i ∩ U_j) у f_j (U_i ∩ U_j) належить Γ. Це визначає структуру гладкого n-многовиду, якщо Γ складається з локальних дифеоморфізмів, та ріманової поверхні, якщо n = 2 (тобто R² ≡ C) і Γ складається з біголоморфізмів. Якщо Γ — афінна псевдогрупа, то M має афінну структуру; якщо Γ — псевдогрупа Мебіуса, то M має проєктивну структуру. Так, поверхня роду 1, задана як C/Λ для деякої ґратки Λ ⊂ C має афінну структуру; а поверхня роду p > 1, задана як фактор верхньої півплощини або одиничного диска за дією фуксової групи, має проєктивну структуру.^[19]

Ганнінг у 1966 році описав, як цей процес можна обернути: для роду p > 1 існування проєктивної зв’язності, визначеної за допомогою похідної Шварца Шаблон:Phi₂ і доведене стандартними результатами про когомологію, можна використати, щоб ототожнити універсальне накриття з верхньою півплощиною або одиничним диском (аналогічний результат має місце для роду 1 із використанням афінних зв’язностей та Шаблон:Phi₁).^[19]

Osgood та Stowe, (1992) описують узагальнення, застосовне до відображень конформних многовидів, у якому похідна Шварца стає симетричним тензором на многовиді. Нехай ${\displaystyle M}$ — гладкий многовид розмірності ${\displaystyle n}$ з гладким метричним тензором ${\displaystyle g}$. Гладкий дифеоморфізм ${\displaystyle F:M\to M}$ є конформним, якщо ${\displaystyle F^{*}g=e^{2\varphi }g}$ для деякої гладкої функції ${\displaystyle \varphi }$. Шварціан визначається як $${\displaystyle S_{g}(\varphi )=\nabla ^{2}\varphi -d\varphi \otimes d\varphi -{\frac {1}{n}}\left[\Delta \varphi -g(\nabla \varphi ,\nabla \varphi )\right]}$$ де ${\displaystyle \nabla }$ — зв’язність Леві-Чивіти для ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ — гессіан відносно цієї зв’язності, ${\displaystyle \Delta \varphi }$ — оператор Лапласа — Бельтрамі (визначений як слід гессіана відносно ${\displaystyle g}$).

Шварціан задовольняє кокраїчний закон $${\displaystyle S_{g}(\varphi +\psi )=S_{g}(\varphi )+S_{e^{2\varphi }g}(\psi ).}$$ Перетворення Мебіуса є конформним дифеоморфізмом, для якого конформний множник має нульовий шварціан. Сукупність перетворень Мебіуса многовиду ${\displaystyle M}$ є замкненою підгрупою Лі конформної групи ${\displaystyle M}$. Розв’язки рівняння ${\displaystyle S_{g}(\varphi )=0}$ в евклідовому просторі (де ${\displaystyle g}$ — евклідова метрика) мають місце тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle \varphi }$ є сталою, або коли конформний множник задає сферичну метрику ${\displaystyle \log[(1+|\mathbf {x} |^{2})^{-1}]}$, або ж конформний множник для гіперболічної метрики Пуанкаре на кулі чи півпросторі — ${\displaystyle \log |(1-|\mathbf {x} |^{2})^{-1}|}$ або ${\displaystyle \log |x_{n}^{-1}|}$ (відповідно).

Інше узагальнення застосовується до додатних кривих у лагранжевому ґрасманіані (Ovsienko та Tabachnikov, 2005). Нехай ${\displaystyle (X,\omega )}$ — симплектичний векторний простір розмірності ${\displaystyle 2n}$ над ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Зафіксуємо пару доповнювальних лагранжевих підпросторів ${\displaystyle A,B\subset X}$. Множина лагранжевих підпросторів, доповнювальних до ${\displaystyle A}$, параметризується простором відображень ${\displaystyle H:A\to B}$, симетричних відносно ${\displaystyle \omega }$ (${\displaystyle \omega (a,H(a))=\omega (H(a),a)}$ для всіх ${\displaystyle a\in A}$). Будь-який лагранжевий підпростір, доповнювальний до ${\displaystyle A}$, має вигляд ${\displaystyle {a+H(a)|a\in A}}$ для деякого такого тензора ${\displaystyle H}$. Крива локально задається однопараметричною сім’єю ${\displaystyle H(u)}$ симетричних тензорів. Криву називають додатною, якщо ${\displaystyle H'(u)}$ є додатно визначеним. Тоді лагранжевий шварціан визначається як $${\displaystyle S(H)=\left(H'\right)^{-1/2}\left[H'''-{\tfrac {3}{2}}H''\left(H'\right)^{-1}H''\right]\left(H'\right)^{-1/2}.}$$ Він має властивість: ${\displaystyle S(H)=S(G)}$ тоді й лише тоді, коли існує симплектичне перетворення, що пов’язує криві ${\displaystyle H(u)}$ і ${\displaystyle G(u)}$.

1. ↑ ^{а б} Thurston, William P. "Zippers and univalent functions." The Bieberbach conjecture (West Lafayette, Ind., 1985) 21 (1986): 185-197.
2. ↑ [http://mathworld.wolfram.com/SchwarzianDerivative.html Weisstein, Eric W. "Schwarzian Derivative." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.]
3. ↑ Schiffer, 1966
4. ↑ Hille, 1976, pp. 374—401
5. ↑ Lehto, 1987, p. 60
6. ↑ Duren, 1983
7. ↑ Lehto, 1987, p. 90
8. ↑ Nehari, 1952
9. ↑ von Koppenfels та Stallmann, 1959
10. ↑ Klein, 1922
11. ↑ Ahlfors, 1966
12. ↑ Lehto, 1987
13. ↑ Imayoshi та Taniguchi, 1992
14. ↑ Ovsienko та Tabachnikov, 2005, pp. 21—22
15. ↑ Pekonen, 1995
16. ↑ Sternberg, 1983, pp. 421—424
17. ↑ Gunning, 1978
18. ↑ Libermann, 1959
19. ↑ ^{а б} Gunning, 1966