Поле часток

В абстрактній алгебрі поле часток області цілісності A — найменше поле, що містить A як підкільце. Побудова поля часток узагальнює побудову множини раціональних чисел з множини цілих чисел.

Нехай A — область цілісності. На множині E = A × A\{0} задається відношення еквівалентності:

• Якщо (a , b) і (c , d) — елементи множини E, то (a , b) ~ (c , d) тоді і тільки тоді, коли ad = bc.

Рефлексивність одержується безпосередньо оскільки (a , b) ~ (a , b) є рівносильним тому, що ab = ab. симетричність є наслідком комутативності поля адже ad = bc тоді й лише тоді, коли da = bc.

Якщо (a , b) ~ (c , d) то за означенням a = bcd^-1 і з (c , d) ~ (e , f) випливає e = cfd^-1. Відповідно, якщо виконуються ці дві еквівалентності одночасно, то: af = bcd^-1f = be, тож також (a , b) ~ (e , f) і відношення є транзитивним.

На множині E можна ввести додавання і множення:

• Для (a , b) і (c , d), що належать E , (a , b) + (c , d) = (ad + bc , bd)
• Для (a , b) і (c , d), що належать E, (a , b) · (c , d) = (ac , bd)

Дані операції можна задати також і на класах еквівалентності визначеного відношення адже операції вд еквівалентних доданків чи множників даватимуть еквівалентні результати.

Якщо (a , b) ~ (a₁ , b₁) то bd (a₁d + b₁c) = a₁bd² + bd b₁c = ab₁d² + bd b₁c = b₁d (ad + bc) тобто також справедливою є і еквівалентність (a , b) + (c , d) ~ (a₁ , b₁) + (c , d).

Для множення, якщо (a , b) ~ (a₁ , b₁) то acb₁d = a₁cbd, тому також (a , b) · (c , d) ~ (a₁ , b₁) · (c , d).

Якщо (a , b) ~ (a₁ , b₁) і (c , d) ~ (c₁ , d₁) то з попереднього і з транзитивності і симетричності:

(a , b) + (c , d) ~ (a₁ , b₁) + (c , d) ~ (a₁ , b₁) + (c₁ , d₁) , тому (a , b) + (c , d) ~ (a₁ , b₁) + (c₁ , d₁)

і аналогічно для множення.

Клас еквівалентності елемента (a , b) найчастіше позначається ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$, дані класи називаються частками або дробами.

Ці класи еквівалентності з визначеними операціями задовольняють властивості:

• Скорочення дробу : для ненульового c , ${\displaystyle {\frac {ca}{cb}}={\frac {a}{b}}}$ ;
• комутативність і асоціативність операцій ;
• існування нульового елемента ${\displaystyle {\frac {0}{x}}}$ для додавання:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {0}{x}}={\frac {ax}{bx}}={\frac {a}{b}}}$

• існування одиниці ${\displaystyle {\frac {x}{x}}}$ при множенні:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times {\frac {c}{c}}={\frac {ac}{bc}}={\frac {a}{b}}}$

• існування елемента ${\displaystyle {\frac {-a}{b}}}$ — оберненого при додаванні до ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ ;

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {-a}{b}}={\frac {0}{b^{2}}}}$

• існування елемента ${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$ оберненого при множенні до ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ ;

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times {\frac {b}{a}}={\frac {ab}{ab}}}$

• Дистрибутивність множення відносно додавання :

${\displaystyle {\frac {a}{b}}{\frac {e}{f}}+{\frac {c}{d}}{\frac {e}{f}}={\frac {aedf+cebf}{bfdf}}={\frac {(ad+cb)e}{bdf}}=({\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}){\frac {e}{f}}}$

Отже класи еквівалентності на множині E = A × A\{0} разом з визначеними операціями додавання і множення утворюють поле. Дане поле і називається полем часток. Елементам ${\displaystyle a\in A}$ області цілісності відповідають елементи ${\displaystyle {\frac {a}{1}}}$ поля часток, тобто існує природне вкладення A в дане поле.

• Полем часток для кільця ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ цілих чисел є поле ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ раціональних чисел .
• Нехай ${\displaystyle R:={a+bi|a,b\in \mathbb {Z} }}$ — кільце гаусових цілих чисел. Тоді ${\displaystyle Quot(R)={c+di|c,d\in \mathbb {Q} }}$ — поле гаусових раціональних чисел.
• Поле часток для поля ізоморфне даному полю.
• Для поля K, полем часток многочленів однієї змінної K[X], є поле раціональних функцій K(X).

• Повне кільце часток

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — Москва : ИЛ, 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)