Напівнорма

Напівнорма або переднорма — узагальнення поняття норми; на відміну від норми напівнорма може бути рівною нулю на ненульових елементах простору.

Напівнормою називається функція ${\displaystyle p\colon L\to \mathbb {R} }$, у лінійному просторі ${\displaystyle L\,}$ над полем дійсних або комплексних чисел, що задовольняє наступним умовам:

1. Абсолютна однорідність: ${\displaystyle p(\alpha x)=|\alpha |p(x)\,}$ для будь-якого скаляра ${\displaystyle \alpha \,}$
2. Нерівність трикутника: ${\displaystyle p(x+y)\leqslant p(x)+p(y)}$ для всіх ${\displaystyle x,y\in L}$

Простір ${\displaystyle {(L,\;p)}}$ називається напівнормованим простором.

• ${\displaystyle p(0)=0\,}$

Ця властивість одержується з першої умови визначення і рівності ${\displaystyle 0\cdot 0=0}$, тут перший нуль належить полю дійсних або комплексних чисел, а другий і третій — простору ${\displaystyle L.\,}$

${\displaystyle p(0)=p(0\cdot 0)=|0|\cdot p(0)=0}$

• ${\displaystyle p(x)=p(-x)\,}$

Ця властивість також є наслідком першої умови при ${\displaystyle \alpha =-1\,}$.

• ${\displaystyle p(x)\geqslant 0}$

Якщо припустити існування такого ${\displaystyle x^{*}\,}$, що ${\displaystyle p(x^{*})\,<0}$, то з першої умови визначення одержується, що і ${\displaystyle p(-x^{*})<0\,}$. Скориставшись другою умовою ${\displaystyle p(0)=p(x^{*}-x^{*})\leqslant p(x^{*})+p(-x^{*})<0}$ одержуємо суперечність з першою властивістю.

• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis (PDF) (англ.) (вид. 2nd). New York: McGraw-Hill. с. 424.