Машина Атвуда

Маши́на А́твуда — прилад для проведення лабораторних експериментів для перевірки механічних законів руху з незмінним прискоренням. Названа на честь винахідника Джорджа Атвуда.

Ідеальна машина Атвуда складається з двох об'єктів мас m₁ і m₂, пов'язаних нерозтяжною, невагомою ниттю, перекинутою через ідеальний невагомий блок^[1].

Коли m₁ = m₂, машина перебуває в байдужій рівновазі незалежно від положення вантажів.

Коли m₁ ≠ m₂, обидві маси зазнають прискорення.

Ми можемо отримати рівняння для прискорення через використання аналізу сил. Якщо ми розглядаємо невагому, нерозтяжну нить і ідеальний невагомий блок, то сили, які ми повинні врахувати: сила розтягу (T) і вага обох мас (W₁ і W₂). Для обчислення прискорення нам треба розглянути сили, що впливають на кожен вантаж індивідуально. Використовуючи другий закон Ньютона (за умови ${\displaystyle m_{1}>m_{2}}$), ми можемо вивести систему рівнянь для прискорення (a).

Ми прийняли, що для ${\displaystyle m_{1}}$ a додатне, коли спрямоване додолу, а для ${\displaystyle m_{2}}$ — коли догори. Ваги ${\displaystyle m_{1}}$ і ${\displaystyle m_{2}}$ це просто ${\displaystyle W_{1}=m_{1}g}$ і ${\displaystyle W_{2}=m_{2}g}$ відповідно.

Сили, що впливають на m₁:

${\displaystyle \;m_{1}g-T=m_{1}a}$

Сили, що впливають на m₂:

${\displaystyle \;T-m_{2}g=m_{2}a}$

Додаючи два попередні рівняння, отримуємо

${\displaystyle \;m_{1}g-m_{2}g=m_{1}a+m_{2}a}$,

і наша заключна формула для прискорення

${\displaystyle a=g{m_{1}-m_{2} \over m_{1}+m_{2}}}$

Також прискорення, спричинене гравітацією, можна знайти, вимірявши час руху вагів і обчисливши значення для постійного прискорення a: ${\displaystyle d={1 \over 2}at^{2}}$.

Машину Атвуда іноді використовують для ілюстрації методу Лагранжа отримання рівняння руху^[2].

Може бути корисним знати рівняння для ниті. Для обчислення розтягу ми підставляємо рівняння для прискорення в одне з двох силових рівнянь.

${\displaystyle a=g{m_{1}-m_{2} \over m_{1}+m_{2}}}$

Наприклад, підставляючи в ${\displaystyle m_{1}a=m_{1}g-T}$, ми отримуємо

${\displaystyle T={2gm_{1}m_{2} \over m_{1}+m_{2}}}$

Для дуже малих різниць між m₁ і m₂, обертовою інерцією I блока радіуса r не можна знехтувати. Кутове прискорення блока за умови, що нить не проковзує по блоку, таке:

${\displaystyle \alpha ={a \over r},}$

де ${\displaystyle \alpha }$ — це кутове прискорення. Тоді сумарний крутильний момент:

${\displaystyle \tau _{net}=\left(T_{1}-T_{2}\right)r-\tau _{friction}=I\alpha }$

Комбінуючи з другим законом Ньютона для вислих мас і розв'язуючи для T₁, T₂ і a, маємо:

Прискорення:

${\displaystyle a={{g(m_{1}-m_{2})-{\tau _{friction} \over r}} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

Розтяг у сегмент ниті поблизу m₁:

${\displaystyle T_{1}={{m_{1}g(2m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}+{{\tau _{friction}} \over {rg}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

Розтяг у сегмент ниті поблизу m₂:

${\displaystyle T_{2}={{m_{2}g(2m_{1}+{{I} \over {r^{2}}}+{{\tau _{friction}} \over {rg}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

Якщо тертя вальниці дуже мале (але не інерція блока), ці рівняння спрощуються до такого вигляду:

Прискорення:

${\displaystyle a={{g(m_{1}-m_{2})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

Розтяг у сегмент ниті поблизу m₁:

${\displaystyle T_{1}={{m_{1}g(2m_{2}+{{I} \over {r^{2}}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

Розтяг у сегмент ниті поблизу m₂:

${\displaystyle T_{2}={{m_{2}g(2m_{1}+{{I} \over {r^{2}}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

Ліфти використовують противагу, нагадуючи машину Атвуда, і таким чином звільняють тяговий мотор від навантаження необхідного для підтримки кабіни ліфта, тож мотору потрібно подолати лише різницю у вазі та інерцію двох мас. Цей самий принцип перейняли у фунікулерах, де використовують два вагони на похилих коліях.