Матриці Паулі

Матриці Паулі — три ${\displaystyle 2\times 2}$ матриці — оператори спіну для часток зі спіном 1/2.

${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

Матриці Паулі — ермітові оператори.

Квадрат будь-якої із них є одиничною матрицею.

Слід будь-якої із матриць Паулі дорівнює нулю.

Комутаційні співвідношення для матриць Паулі схожі на комутаційні співвідношення для оператора кутового моменту

${\displaystyle [\sigma _{x},\sigma _{y}]=2i\sigma _{z}}$

${\displaystyle [\sigma _{y},\sigma _{z}]=2i\sigma _{x}}$

${\displaystyle [\sigma _{z},\sigma _{x}]=2i\sigma _{y}}$

Найважливішим для практичного застосування є оператор ${\displaystyle \sigma _{z}}$. Його власні значення ${\displaystyle \pm 1}$, а власні вектори

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$ та ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$.

Матриця

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{+}={\frac {1}{2}}({\hat {\sigma }}_{x}+i{\hat {\sigma }}_{y})}$

має ту властивість, що

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{+}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=0,\qquad {\hat {\sigma }}_{+}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$

тобто вона перетворює один власний вектор у інший. Аналогічно, матриця

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{-}={\frac {1}{2}}({\hat {\sigma }}_{x}-i{\hat {\sigma }}_{y})}$

має ту властивість, що

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{-}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=0,\qquad {\hat {\sigma }}_{-}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$

Фізичний сенс цих операторів — перевертання спіна.

Із врахуванням взаємодії квантовомеханічної частинки зі спіном 1/2 із магнітним полем гамільтоніан для частинки записується у вигляді

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+g\mu _{B}{\hat {\mathbf {\sigma } }}\cdot \mathbf {B} }$,

де g — g-фактор Ланде, ${\displaystyle \mu _{B}}$ — магнетон Бора, ${\displaystyle \mathbf {B} }$ — вектор магнітної індукції, ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}}$ — та частина гамільтоніана, яка не залежить від магнітного поля.

Якщо вибрати систему координат таким чином, щоб магнітне поле було направлене вздовж осі z, то гамільтоніан матиме вигляд

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+g\mu _{B}{\hat {\sigma _{z}}}B}$.

У такому випадку гамільтоніан частинки комутує із оператором ${\displaystyle \sigma _{z}}$ і матиме з ним спільні власні вектори. Тоді в магнітному полі енергетичні рівні частинки зі спіном 1/2 розщеплюватимуться на два з енергією ${\displaystyle E_{n0}\pm g\mu _{B}H}$, де ${\displaystyle E_{n0}}$ — це вклад у енергію, зумовлений іншими, не залежними від магнітного поля, взаємодіями.