Лема Шварца

Лема Шварца — твердження в комплексному аналізі про властивості голоморфних функцій з одиничного круга комплексної площини в себе. Названа на честь німецького математика Германа Шварца. Узагальненням леми є теорема Шварца — Альфорса — Піка. Лема не так відома, як більш сильна теорема Рімана про відображення.

Нехай ${\displaystyle \mathrm{\Delta }=\{z:|z|<1\}}$ — одиничний круг на комплексній площині ${\displaystyle ℂ}$. Нехай функція ${\displaystyle f}$ голоморфна в ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ і задовольняє умови:

1. ${\displaystyle f(0)=0}$;
2. ${\displaystyle |f(z)|⩽1,\mathrm{\forall }z\in \mathrm{\Delta }}$.

Тоді:

1. ${\displaystyle |f(z)|⩽|z|,\mathrm{\forall }z\in \mathrm{\Delta }}$;
2. ${\displaystyle |f^{\prime }(0)|⩽1}$.

Окрім того, якщо ${\displaystyle |f(z)|=|z|}$, для деякого ненульового ${\displaystyle z\in \mathrm{\Delta }}$ або ${\displaystyle |f^{\prime }(0)|=1}$ тоді ${\displaystyle f(z)=\alpha z}$ для деякого комплексного числа ${\displaystyle \alpha }$ для якого ${\displaystyle |\alpha |=1}$.

Розглянемо функцію ${\displaystyle g(z)=\frac{f(z)}{z}}$. Ця функція є голоморфною на множині ${\displaystyle \mathrm{\Delta }\setminus 0}$.

Маємо також ${\displaystyle \underset{z\to 0}{lim}g(z)=\underset{z\to 0}{lim}\frac{f(z)}{z}=\underset{z\to 0}{lim}\frac{f(z)-f(0)}{z-0}=f^{\prime }(0)}$.

Визначивши ${\displaystyle g(0)=f^{\prime }(0)}$, отримаємо голоморфну на всьому одиничному крузі функцію. Розглянемо замкнутий круг ${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_{\epsilon }=\{z:|z|<1-\epsilon \}}$ для довільного ${\displaystyle 0<\epsilon \ll 1}$. На границі цього круга, ${\displaystyle |g(z)|⩽\frac{1}{(1-\epsilon )}}$. З принципу максимуму модуля випливає, що ${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_{\epsilon }=\{z:|z|⩽1-\epsilon \}}$ також для всіх ${\displaystyle z\in {\mathrm{\Delta }}_{\epsilon }}$. Якщо тепер направити ${\displaystyle \epsilon \to 0}$ то в результаті одержуємо ${\displaystyle |g(z)|⩽1}$ для всіх ${\displaystyle z\in \mathrm{\Delta }}$. Дана нерівність згідно означень рівносильна нерівності ${\displaystyle |f(z)|⩽|z|}$ для ${\displaystyle z\in \mathrm{\Delta }\setminus 0}$ (для ${\displaystyle z=0,|f(z)|=0=|z|,}$ так що твердження леми автоматично виконується). Також згідно визначення ${\displaystyle g(0)=f^{\prime }(0)}$ тому ${\displaystyle |f^{\prime }(0)|=|g(0)|⩽1}$.

Якщо тепер для деякого ненульового ${\displaystyle z\in \mathrm{\Delta }}$ виконується ${\displaystyle |f(z)|=|z|}$ то ${\displaystyle |g(z)|=1.}$ Якщо ${\displaystyle |f^{\prime }(0)|=1}$ тоді ${\displaystyle g(0)=1.}$ Оскільки ${\displaystyle |g(z)|⩽1}$ для всіх ${\displaystyle z\in \mathrm{\Delta }}$ то згідно принципу максимального модуля в обох цих випадках функція ${\displaystyle g(z)}$ є константою. Модуль цієї константи рівний 1. Якщо позначити цю константу ${\displaystyle \alpha }$ то маємо ${\displaystyle \frac{f(z)}{z}=g(z)\equiv \alpha ,}$ звідки ${\displaystyle f(z)=\alpha z.}$

• Принцип максимуму модуля
• Теорема Бореля — Каратеодорі

• Привалов І.І.. Вступ до теорії функцій комплексного змінного. — Х. : ДНТВУ.НКТП, 1938. — 381 с.(укр.)
• Соколов Ю.Д. Елементи теорії функцій комплексної змінної. — К.: : Радянська школа, 1954. — 202 с.(укр.)
• Давидов М.О. Елементи теорії функцій комплексної змінної. — К.: : Радянська школа, 1968. — 212 с.(укр.)
• Грищенко О.Ю., Нагнибіда М.І., Настасієв П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: : Вища школа, 1994. — 375 с.(укр.)
• Мельник Т.А. (2015). Комплексний аналіз : підручник (PDF). Київ: ВПЦ "Київський університет". с. 192. ISBN 978-966-439-800-5.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2026. — 2538 с.(укр.)
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. В 2 томах. — Москва : Наука, 1976. — 720 с.(рос.)
• Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis (PDF) (англ.) (вид. 3rd.). McGraw Hill. ISBN 0-07-085008-9.(англ.)