Ряд Лорана

Ряд Лорана — двосторонній^{[Note 1]} степеневий ряд, у який розкладається комплексна функція f(z). Ряди Лорана застосовують для дослідження комплексної функції у тих випадках, коли розклад у ряд Тейлора не може бути застосований. Їх названо на честь П'єра Альфонса Лорана, який уперше опублікував свої дослідження цих рядів у 1843 році. Карл Веєрштрасс, можливо, застосовував такі ряди ще у 1841 році, але не опублікував своїх результатів.

Для комплексної функції f(z), аналітичної у скінченому кільці з центром у точці c, у довільній точці кільця виконується рівність:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}$,

де члени ряду a_n визначаються за формулою:

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}}}$.

Шлях інтегрування γ є довільним замкненим контуром, що лежить у кільці і містить точку с.

• Головною частиною ряду Лорана називаються члени з від'ємними степенями:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{-n}{(z-a)^{(-n)}}}$.

• Правильною частиною (Тейлорівською частиною) ряду Лорана називаються члени з невід'ємними степенями:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}}$.

• Якщо ряд Лорана збігається, то його внутрішність області збіжності є кільцем:

${\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C} |r<|z-a|<R<\infty \}}$.

• У своєму кільці збіжності ${\displaystyle D}$ ряд Лорана збігається абсолютно.

• Функція f(z) в певній точці допускає єдиний розклад у ряд Лорана (якщо такий розклад існує).

Функція f(z) однозначна і аналітична в скінченому кільці ${\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C} |r<|z-a|<R<\infty \}}$ в довільній точці цього кільця допускає розклад у збіжний ряд Лорана.

Ряд Лорана є зручним інструментом для оцінки поведінки функції в околі ізольованої особливої точки. Залежно від головної частини ряду, особливу точку визначають як:

• усувна особлива точка, якщо головна частина не містить ненульових членів;

• простий полюс, якщо головна частина має скінчену кількість членів;

• істотно особлива точка, якщо головна частина має нескінчену кількість членів.

Знайти розклад в ряд Лорана в точці ${\displaystyle z=i}$ функції

${\displaystyle {\frac {1}{z^{2}+1}}}$.

Спочатку відзначимо

${\displaystyle {\frac {1}{z^{2}+1}}={\frac {1}{(z-i)(z+i)}}}$.

Далі,

${\displaystyle {\frac {1}{z+i}}={\frac {1}{2i+(z-i)}}=-{\frac {i}{2}}{\frac {1}{1-{\frac {i}{2}}(z-i)}}}$

Останній дріб може бути розкладений у геометричну прогресію відносно ${\displaystyle z-i}$,

${\displaystyle {\frac {1}{1-{\frac {i}{2}}(z-i)}}=1+{\frac {i}{2}}(z-i)+\left({\frac {i}{2}}(z-i)\right)^{2}+\left({\frac {i}{2}}(z-i)\right)^{3}+\cdots }$

Множимо прогресію на -i/2, і ділимо обидві частини на z — i:

${\displaystyle {\frac {1}{z^{2}+1}}=-\left({\frac {i}{2}}\right){\frac {1}{z-i}}-\left({\frac {i}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {i}{2}}\right)^{3}(z-i)-\left({\frac {i}{2}}\right)^{4}(z-i)^{2}-\cdots }$

Як другий приклад можна розкласти в ряд Лорана квадрат вищерозглянутої функції

${\displaystyle {\frac {1}{(z^{2}+1)^{2}}}}$.

Для цього необхідно піднести до квадрата отриману для попереднього прикладу прогресію. Зазвичай, піднесення до степеня нескінченної прогресії є складною операцією. Однак для обчислення перших ${\displaystyle n}$ членів ряду Лорана, нам достатньо перемножити між собою перші ${\displaystyle n}$ членів вихідної прогресії:

${\displaystyle {\frac {-1}{4(z-i)^{2}}}-{\frac {i}{4(z-i)}}+{\frac {3}{16}}+\cdots }$

• Привалов І.І.. Вступ до теорії функцій комплексного змінного. — Х.: : ДНТВУ.НКТП, 1938. — 381 с.(укр.)
• Соколов Ю.Д. Елементи теорії функцій комплексної змінної. — К.: : Радянська школа, 1954. — 202 с.(укр.)
• Давидов М.О. Елементи теорії функцій комплексної змінної. — К.: : Радянська школа, 1968. — 212 с.(укр.)
• Грищенко О.Ю., Нагнибіда М.І., Настасієв П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: : Вища школа, 1994. — 375 с.(укр.)
• Мельник Т.А. (2015). Комплексний аналіз : підручник (PDF). Київ: ВПЦ "Київський університет". с. 192. ISBN 978-966-439-800-5.(укр.)
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2026. — 2390 с.(укр.)
• Банах С. Диференціальне та інтегральне числення = Rachunek różniczkowy i całkowy. — 2-е. — М. : Наука, 1966. — 436 с.(рос.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)
• І. М. Гельфанд, Г. Є. Шилов. Узагальнені функції. — 2026.(укр.)