Формула Іто

Лема Іто використовується в стохастичному аналізі для знаходження диференціалу від функції, аргументом якої є випадковий процес. Назву отримала на честь японського математика Кійосі Іто. Лема є аналогом правила диференціювання складеної функції в звичайному математичному аналізі. Її найкраще можна запам'ятати, використовуючи розклад функції в ряд Тейлора до другого степеня по випадковому компоненту функції. Результат широко використовується у фінансовій математиці, зокрема у формулі Блека — Шоулза для оцінки вартості кол-опціонів. Формулу іноді називають теоремою Іто — Добліна на честь Вольвганга Добліна, який також її вивів, але його записки були знайдені і оприлюднені тільки в 2000 році.^[1]

Найпростіше формулювання леми Іто: для дифузійного процесу

${\displaystyle d{X}_t={\sigma }_{t}d{B}_t+{\mu }_{t}dt}$

де ${\displaystyle d{B}_t}$ — диференціал Вінерівського процесу. Виразом ${\displaystyle (d{B}_t{)}^2}$ не можна знехтувати у розкладі Тейлора, він еквівалентний ${\displaystyle dt}$, тоді як ${\displaystyle (d{B}_t{)}^3\approx d{B}_{t}dt\approx (dt{)}^{\frac{3}{2}}}$ так само як і ${\displaystyle (dt{)}^2}$ зануляється і ними можна знехтувати. Тому для двічі неперервно-диференційовної функції ƒ(t, x) (тобто для цієї функції визначені перша і друга частинні похідні) від двох дійсних параметрів t і x, використовуючи розклад Тейлора

${\displaystyle \begin{array}{c}df(t,x)=\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{1}{2}(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}(dt{)}^2+2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t\partial x}dtdx+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(dx{)}^2)+\cdots \end{array}}$

використовуючи позначення

${\displaystyle f^{\prime }(t,x)=\frac{\partial f}{\partial x}(t,x),f^{″}(t,x)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(t,x),\dot{f}(t,x)=\frac{\partial f}{\partial t}(t,x)}$

і замінюючи ${\displaystyle dx}$ на ${\displaystyle {\sigma }_{t}d{B}_t+{\mu }_{t}dt}$, отримуємо

${\displaystyle \begin{array}{cc}df(t,X_t)& =\dot{f}(t,X_t)dt+f^{\prime }(t,X_t)({\mu }_{t}dt+{\sigma }_{t}d{B}_t)+\frac{1}{2}{f}^{″}(t,X_t){\sigma }_t^{2}dt=\\ & =(\dot{f}(t,X_t)+{\mu }_t{f}^{\prime }(t,X_t)+\frac{{\sigma }_t^2}{2}{f}^{″}(t,X_t))dt+f^{\prime }(t,X_t){\sigma }_{t}d{B}_t\end{array}}$

Багатовимірний варіант,

${\displaystyle df(t,X_t)={\dot{f}}_t(t,X_t)dt+{\mathrm{\nabla }}_{X_t}^{T}f\cdot d{X}_t+\frac{1}{2}d{X}_t^T\cdot {\mathrm{\nabla }}_{X_t}^{2}f\cdot d{X}_t}$

де ${\displaystyle X_t={(X_{t,1},X_{t,2},\cdots ,X_{t,n})}^T}$ — вектор дифузійних процесів, ${\displaystyle {\dot{f}}_t(t,X)}$ — частинна похідна по t, ${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}_X^{T}f}$ — градієнт функції ƒ по X, і ${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}_X^{2}f}$ — матриця Гессе функції ƒ по X.

Більш загально формула Іто виконується для будь-якого неперервного d-вимірного напівмартингалу X = (X¹,X²,…,X^d), і двічі неперервно-диференційовної і дійснозначної функції f в R^d.

Іноді формулу презентують з перехресною варіацією наступним чином, f(X) напівмартингал, що задовольняє формулу Іто

${\displaystyle df(X_t)=\sum _{i=1}^d{f}_i(X_t)d{X}_t^i+\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^d{f}_{ij}(X_t)d[X^i,X^j{]}_t.}$

В цьому виразі f_i — частинна похідна функції f(x) по xⁱ, і [Xⁱ,X^j ] — квадратична варіація процесів Xⁱ і X^j.

Лема Іто може бути застосована до загальних d-вимірних напівмартингалів, які можуть бути розривними. Взагалі напівмартингали — це càdlàg-процес (неперервний справа процес, що має лівосторонні границі), і тому додатковий одночлен необхідний для того щоб стрибки процесу були враховані лемою Іто.

Для довільного càdlàg-процесу Y_t, лівостороння границя в точці t позначається Y_t- і цей процес є неперервним зліва процесом. Стрибки записують як ΔY_t = Y_t - Y_t-. Тоді лема Іто стверджує: якщо X = (X¹,X²,…,X^d) — d-вимірний напівмартингал і f двічі неперервно диференційовна дійсно-значна функція на R^d тоді f(X) — напівмартингал, і

${\displaystyle \begin{array}{cc}f(X_t)=& f(X_0)+\sum _{i=1}^d{\int }_0^t{f}_i(X_{s-})d{X}_s^i+\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^d{\int }_0^t{f}_{i,j}(X_{s-})d[X^i,X^j{]}_s\\ & +\sum _{s\le t}(\mathrm{\Delta }f(X_s)-\sum _{i=1}^d{f}_i(X_{s-})\mathrm{\Delta }{X}_s^i-\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^d{f}_{i,j}(X_{s-})\mathrm{\Delta }{X}_s^i\mathrm{\Delta }{X}_s^j).\end{array}}$

Ця формула відрізняється від випадку неперервних напівмартингалів додатковою сумою по стрибках X, що забезпечує рівність стрибка правої частини тотожності ( в час t) стрибку лівої частини Δf(X_t).

Формальне доведення леми вимагає знаходження границі послідовності випадкових величин. Тут ми тільки дамо схему доведення леми Іто з використанням розкладу функції в ряд Тейлора і застосуванням правил стохастичного числення.

Нехай маємо процес Іто, записаний у формі

${\displaystyle dx=adt+bdB.}$

Розкладаючи f(x, t) в ряд Тейлора в точці x і t маємо

${\displaystyle df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}d{x}^2+\cdots }$

і підстановка dt + b dB замість dx дає

${\displaystyle df=\frac{\partial f}{\partial x}(adt+bdB)+\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(a^{2}d{t}^2+2abdtdB+b^{2}d{B}^2)+\cdots .}$

Границя при dt прямуючи до 0, dt² та dt dB прямують до нуля, але вираз dB² прямує до dt. Останній факт можна довести якщо ми покажемо, що

${\displaystyle d{B}^2\to E(d{B}^2),}$ since ${\displaystyle E(d{B}^2)=dt.}$

Викидаючи доданки з dt² та dt dB, підставляючи dt замість dB², і зводячи доданки з dt та dB, отримуємо

${\displaystyle df=(a\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{1}{2}{b}^2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2})dt+b\frac{\partial f}{\partial x}dB}$

що й потрібно було показати.

Формальне доведення леми набагато складніше.

• Інтеграл Іто
• Теорема Ґірсанова
• Вінерівський процес
• Формула Фейнмана — Каца

• Скороход А. В. Лекції з теорії випадкових процесів. — Київ : Либідь, 1990. — 168 с. — ISBN 5-11-001701-8.
• Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.