YaChudo

Неперервна справа функція з лівосторонніми границями

Переглядів: 0. Оновлено 07.11.2026.

Функції розподілу випадкової величини є прикладами càdlàg функцій

В математиці, càdlàg (фр. continu à droite, limite à gauche, або англійською RCLL або англ. “right continuous with left limits”) функція або Неперервна справа функція з лівосторонніми границями (НСФзЛГ) — це функція визначена на дійсній осі (або її підмножині), всюди неперервна справа і має лівосторонні границі в кожній точці. Càdlàg функції є дуже важливими у вивченні стохастичних процесів з стрибками, на відміну від Вінерівського процесу який має неперервні траєкторії. Клас неперервних справа функцій з лівосторонніми границями (càdlàg функції) утворюють простір Скорохода.

Означення

Нехай (M, d) — метричний простір, і E ⊆ R. Функція ƒ: E → M називається неперервною справа функцією з лівосторонніми границями (або càdlàg функцією) якщо, для всіх t ∈ E,

Тобто, ƒ — неперервна справа з лівосторонніми границями[1].

Приклади

  • Всі неперервні функції є càdlàg функціями.
  • Функції розподілу ймовірностей є càdlàg функціями за означенням.
  • Права похідна f + ′ {\displaystyle f_{+}^{\prime }} будь-якої опуклої функції f, що визначена на відкритому інтервалі, є зростаючою càdlàg функцією[джерело?].

Простір Скорохода

Множина усіх càdlàg функцій ƒ: E → M часто позначається як D(E; M) (або просто D) і називається Простір Скорохода на честь українського математика Анатолія Скорохода. Простору Скорохода може бути поставлена у відповідність топологія, яка дозволяє нам інтуітивно "трохи збурювати простір і час" (тоді як традиційна топологія з рівномірною збіжністю дозволяє лише "трохи збурювати простір"). Для спрощення візьмемо E = [0, T] та M = Rn — дивись у Billingsley більш загальну конструкцію.

З початку треба визначити аналог модуля неперервності, ϖ′ƒ(δ). Для будь-якого F ⊆ E визначимо

w f ( F ) := sup s , t ∈ F | f ( s ) − f ( t ) | {\displaystyle w_{f}(F):=\sup _{s,t\in F}|f(s)-f(t)|}

і для δ > 0 визначимо càdlàg modulus як

ϖ f ′ ( δ ) := inf Π max 1 ≤ i ≤ k w f ( [ t i − 1 , t i ) ) , {\displaystyle \varpi '_{f}(\delta ):=\inf _{\Pi }\max _{1\leq i\leq k}w_{f}([t_{i-1},t_{i})),}

де infimum береться по всім розподілам Π = {0 = t0 < t1 < … < tk = T}, k ∈ N з mini (ti − ti−1) > δ. Таке визначення дає сенс для non-càdlàg ƒ (тоді як звичайний модуль неперевності дає сенс для розривних функцій) і можна показати, що ƒ є càdlàg тоді і тільки тоді ϖ′ƒ(δ) → 0 коли δ → 0.

Позначимо Λ множину усіх строго зростаючих, неперервних бієкцій з E в себе (це є "збурення часу"). Нехай

‖ f ‖ := sup t ∈ E | f ( t ) | {\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\in E}|f(t)|}

позначає однорідну норму функцій на E. Визначимо метрику Скорохода σ на D так

σ ( f , g ) := inf λ ∈ Λ max { ‖ λ − I ‖ , ‖ f − g ∘ λ ‖ } , {\displaystyle \sigma (f,g):=\inf _{\lambda \in \Lambda }\max\{\|\lambda -I\|,\|f-g\circ \lambda \|\},}

де I: E → E є індикаторною функцією. В термінах інтуітивного "збурення" ||λ − I|| вимірює розмір "збурення в часі", а ||ƒ − g○λ|| вимірює розмір "збурення в просторі".

Можна показати, що метрика Скорохода є дійсно метрикою. Топологія Σ, що генерується σ називається топологією Скорохода на D.

Властивості простору Скорохода

Узагальнення однорідної торології

Простір C неперевних функцій на E є підпростором D. Топологія Скорохода, яка зв'язується з простором C, збігається з однорідною топологією на ньому.

Повнота

Можна показати, що хоча D не є повним простором по точки зору метрики Скорохода σ, існує топологічно еквівалентна метрика σ0 з якою D є повним.[2]

Сепарабельність

Якщо σ або σ0, то D є сепарабельним простором. Тоді простір Скорохода є польським простором.

Щільність простору Скорохода

Застосовуючи теорему Арцела-Асколі, можна показати, що послідовність (μn)n=1,2,… ймовірнісних мір на просторі Скорохода D є щільною тоді і лише тоді, коли виконуються наступні дві умови:

lim a → ∞ lim sup n → ∞ μ n ( { f ∈ D | ‖ f ‖ ≥ a } ) = 0 , {\displaystyle \lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}{\big (}\{f\in D\;|\;\|f\|\geq a\}{\big )}=0,}

та

lim δ → 0 lim sup n → ∞ μ n ( { f ∈ D | ϖ f ′ ( δ ) ≥ ε } ) = 0  для всіх  ε > 0. {\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}{\big (}\{f\in D\;|\;\varpi '_{f}(\delta )\geq \varepsilon \}{\big )}=0{\text{ для всіх }}\varepsilon >0.}

Алгебраїчна та топологічна структура

При топології Скорохода та поточковому складанні функцій D не є топологічною групою. Це видно з наступного прикладу:

Нехай E = [ 0 , 2 ) {\displaystyle E=[0,2)} одиничний интервал, а f n = χ [ 1 − 1 / n , 2 ) ∈ D {\displaystyle f_{n}=\chi _{[1-1/n,2)}\in D} послідовність характеристичних функцій. Не дивлячись на те, що f n → χ [ 1 , 2 ) {\displaystyle f_{n}\rightarrow \chi _{[1,2)}} в топології Скорохода, послідовність f n − χ [ 1 , 2 ) {\displaystyle f_{n}-\chi _{[1,2)}} не збігається до 0.

Див. також

Джерела

  1. ↑ Підкуйко, Сергій (2004). Математичний аналіз — Т.1. Множини. Дійсні числа. Границя послідовності. Границя функції. Неперервність функції. Диференціальне числення функцій однієї змінної. Львів: Галицька видавнича спілка. с. 530. ISBN 966-7893-26-Х. {{cite book}}: Перевірте значення |isbn=: недійсний символ (довідка)
  2. ↑ Convergence of probability measures - Billingsley 1999, p. 125
Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.

Джерело: стаття у Вікіпедії та історія редагувань (автори).