YaChudo

Кільце Нетер

Переглядів: 0. Оновлено 10.11.2026.

Кільце Нетер — в абстрактній алгебрі це таке асоціативне кільце з одиницею для якого справджується наступне твердження: нехай маємо деяку зростаючу послідовність ідеалів кільця:

I 1 ⊆ I 2 ⊆ I 3 ⊆ ⋯ , {\displaystyle I_{1}\,\subseteq \,I_{2}\,\subseteq \,I_{3}\,\subseteq \,\cdots ,}

тоді існує таке n {\displaystyle n} для якого:

I n = I n + 1 = I n + 2 = ⋯ . {\displaystyle I_{n}\,=\,I_{n+1}\,=\,I_{n+2}\,=\,\cdots .}

Якщо ідеали в означенні ліві, то кільце називається лівим кільцем Нетер, якщо праві  - правим кільцем Нетер. Якщо твердження виконується і для лівих і для правих ідеалів то кільце просто називається кільцем Нетер. Дані кільця названі на честь німецького математика Еммі Нетер (нім. Emmy Noether).

Альтернативні означення

Такі два твердження еквівалентні означенню кільця Нетер і, відповідно, самі можуть бути означеннями:

  • Деяке кільце A є кільцем Нетер тоді й лише тоді коли кожна непуста множина його ідеалів має максимальний елемент.
  • Деяке кільце A є кільцем Нетер тоді й лише тоді коли кожен його ідеал є скінченно породженим. Тобто для кожного ідеалу I {\displaystyle I} кільця R {\displaystyle R} існують такі елементи a 1 , a 2 , … , a k ∈ R {\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k}\in R} , що I = { a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a k x k : x 1 , x 2 , … x k ∈ R } {\displaystyle I=\{a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{k}x_{k}:x_{1},x_{2},\ldots x_{k}\in R\}} .

Приклади

Приклади кілець Нетер:

чи коефіцієнтами з деякого поля.

Приклади кілець, що не є кільцями Нетер

  • Кільце многочленів, з нескінченною кількістю змінних.
  • Кільце неперервних функцій з множини дійсних функцій в множину дійсних функцій.

Властивості

Див. також

Література

Джерело: стаття у Вікіпедії та історія редагувань (автори).