Зірка Годжа

Зірка Годжа — важливий лінійний оператор з простору q-векторів в простір (n—q)-форм. Метричний тензор задає канонічний ізоморфізм між просторами q-форм і q-векторів, тому зазвичай зіркою Годжа називають оператор з простору диференціальних форм розмірності q в простір форм розмірності n-q.

${\displaystyle *\colon \Lambda ^{q}(T^{*}M)\to \Lambda ^{n-q}(T^{*}M)}$

Цей оператор був введений Вільямом Годжем.

Оператор дуальності - оператор на многовиді ${\displaystyle M^{n}}$ розмірності ${\displaystyle n}$ у присутності метрики ${\displaystyle g_{ij},}$ який визначається рівністю

${\displaystyle (*T)_{i_{k+1}...i_{n}}={\frac {1}{k!}}{\sqrt {\mathrm {det} (g_{ij})}}\varepsilon _{i_{1}...i_{n}}T^{i_{1}...i_{k}},}$

де ${\displaystyle T^{i_{1}...i_{k}}=g^{i_{1}j_{1}}...g^{i_{k}j_{k}}T_{j_{1}...j_{k}},}$ компонента ${\displaystyle \varepsilon _{i_{1}...i_{n}}}$ відмінна від нуля, якщо серед індексів ${\displaystyle i_{1},...,i_{n}}$ немає повторюваних і тоді ${\displaystyle \varepsilon _{i_{1}...i_{n}}=+1,}$ якщо ${\displaystyle \mathrm {sign} (i_{1},...,i_{n})=1}$ та -1, якщо ${\displaystyle \mathrm {sign} (i_{1},...,i_{n})=-1.}$ Оператор дуальності задає ізоморфізм простору кососиметричних тензорів типу ${\displaystyle (0,k)}$ на простір кососиметричних тензорів типу ${\displaystyle (0,n-k).}$ Іноді оператор дуальності називається оператором Ходжа або *-оператором^[1].

Нехай ${\displaystyle V}$ - дійсний векторний простір. Метрика на ${\displaystyle V}$ індукує метрику на його тензорних просторах ${\displaystyle g(x_{1}\otimes x_{2}\otimes ...\otimes x_{k},\,x_{1}'\otimes x_{2}'\otimes ...\otimes x_{k}')=g(x_{1},x_{1}')g(x_{2},x_{2}')...g(x_{k},x_{k}').}$ Це задає невироджений скалярний добуток на диференціальних формах на римановому многовиді:

${\displaystyle g(\alpha ,\beta ):=\int _{M}g(\alpha ,\beta )\mathrm {Vol} _{M}.}$

Інша невироджена форма задається формулою ${\displaystyle \alpha ,\beta \rightarrow \int _{M}\alpha \land \beta }$ (зпарювання Пуанкаре).

Нехай ${\displaystyle M}$ - римановий n-вимірний многовид. Оператор Ходжа ${\displaystyle *:\Lambda ^{k}M\rightarrow \Lambda ^{n-k}M}$ визначається формулою

${\displaystyle g(\alpha ,\beta )=\int _{M}\alpha \land *\beta .}$

У ортонормальному базисі ${\displaystyle \xi _{1},...,\xi _{n}\in \Lambda ^{1}M}$ його можна задати на мономах

${\displaystyle *(\xi _{i_{1}}\land \xi _{i_{2}}\land ...\land \xi _{i_{k}})=(-1)^{s}\xi _{j_{1}}\land \xi _{j_{2}}\land ...\land \xi _{j_{n-k}},}$

де ${\displaystyle \xi _{j_{1}},\xi _{j_{2}},...,\xi _{j_{n-k}}}$ - додатковий набір ковекторів, а ${\displaystyle s}$ - сигнатура перестановки ${\displaystyle (i_{1},...,i_{k},\,j_{1},...,j_{n-k}).}$

Зауваження^[2]: ${\displaystyle *^{2}|_{\Lambda ^{k}(M)}=(-1)^{k(n-k)}\mathrm {Id} _{\Lambda ^{k}(M)}.}$

Означимо форму об'єму

${\displaystyle \Omega =f(X)dX^{0}\wedge \ldots \wedge dX^{n-1}}$

${\displaystyle \Omega _{M_{1}\ldots M_{n}}=f(X)\varepsilon _{M_{1}\ldots M_{n}}}$

де ${\displaystyle f(X):M\to \mathbb {R} }$ — невід'ємний скаляр на многовиді ${\displaystyle M}$, а ${\displaystyle \varepsilon _{M_{1}\ldots M_{n}}}$ — символ Леві-Чивіти. ${\displaystyle \varepsilon _{0\ldots n-1}=+1}$. Навіть за відсутності метрики, якщо ${\displaystyle f(X)>0}$, можна визначити контраваріантні компоненти форми об'єму.

${\displaystyle {\check {\Omega }}={\frac {1}{f(X)}}{\frac {\partial }{\partial {X^{0}}}}\wedge \cdots \wedge {\frac {\partial }{\partial {}{X^{n-1}}}}}$

${\displaystyle {\check {\Omega }}^{M_{1}\ldots M_{n}}=f^{-1}(X)\varepsilon ^{M_{1}\ldots M_{n}}}$

тут антисиметричний символ ${\displaystyle \varepsilon ^{M_{1}\ldots M_{n}}}$ збігається ${\displaystyle \varepsilon _{M_{1}\ldots M_{n}}}$.

У присутності метрики ${\displaystyle \Omega }$ з піднятими індексами може відрізнятися від ${\displaystyle {\check {\Omega }}}$ на знак: ${\displaystyle \Omega =\sigma {\check {\Omega }}}$. Тут і далі ${\displaystyle \sigma =\operatorname {sgn} \det(g_{mk})}$

Уведемо операцію антисиметризації:

${\displaystyle A_{[m_{1}\ldots m_{q}]}={\frac {1}{q!}}\sum _{\sigma (m_{1}\ldots m_{q})}(-1)^{\operatorname {sgn}(m_{1}\ldots m_{q})}A_{\sigma (m_{1}\ldots m_{q})}}$. Підсумовування ведеться за всіма перестановками ${\displaystyle \sigma (m_{1}\ldots m_{q})}$ індексів, укладених в квадратні дужки, з урахуванням їх парності ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}$. Аналогічно визначається антисимметризація верхніх індексів; антисимметризувати можна тільки за групою індексів одного типу. Приклади: ${\displaystyle A_{k[lm]}={\frac {1}{2!}}(A_{klm}-A_{kml})}$; ${\displaystyle A_{k}^{[l}B_{p}^{m]}={\frac {1}{2!}}(A_{k}^{l}B_{p}^{m}-A_{k}^{m}B_{p}^{l})}$.

• David Bleecker (1981) Gauge Theory and Variational Principles. Addison-Wesley Publishing. ISBN 0-201-10096-7. Chpt. 0 contains a condensed review of non-Riemannian differential geometry.
• Jurgen Jost (2002) Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2. A detailed exposition starting from basic principles; does not treat the pseudo-Riemannian case.
• Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler (1970) Gravitation. W.H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0. A basic review of differential geometry in the special case of four-dimensional spacetime.
• Steven Rosenberg (1997) The Laplacian on a Riemannian manifold. Cambridge University Press. ISBN 0-521-46831-0. An introduction to the heat equation and the Atiyah-Singer theorem.
• Tevian Dray (1999) The Hodge Dual Operator [Архівовано 18 вересня 2017 у Wayback Machine.]. A thorough overview of the definition and properties of the Hodge star operator.