Золотий кут

У геометрії золотий кут — менший із двох кутів, утворених поділом кола на дві дуги відповідно до золотого перерізу, тобто так, що відношення довжини меншої дуги до довжини більшої дуги дорівнює відношенню довжини більшої дуги до довжини кола.

Алгебрично, нехай ${\displaystyle a+b}$ — довжина кола, поділена на довшу дугу довжини ${\displaystyle a}$ та меншу дугу довжини ${\displaystyle b}$ такі, що

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}}$

Золотий кут — це кут, що спирається на меншу дугу довжини b. Він має приблизно 137,5077640500378546463487 ...° ( A096627) або 2,39996322972865332 рад ( A131988).

Назва походить від зв'язку золотого кута із золотим перетином ${\displaystyle \varphi }$; точне значення золотого кута дорівнює

${\displaystyle 360\left(1-{\frac {1}{\varphi }}\right)=360(2-\varphi )={\frac {360}{\varphi ^{2}}}=180(3-{\sqrt {5}})^{\circ }}$

або

${\displaystyle 2\pi \left(1-{\frac {1}{\varphi }}\right)=2\pi (2-\varphi )={\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}=\pi (3-{\sqrt {5}}){\text{ рад}},}$

де еквівалентності випливають з відомих алгебричних властивостей золотого перерізу.

Множення визначального рівняння для золотого перетину $${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1}$$на ${\displaystyle 1/\varphi ^{2}}$ дає$${\displaystyle 1={\frac {1}{\varphi }}+{\frac {1}{\varphi ^{2}}}.}$$Якщо відношення двох кутів, сума яких ${\displaystyle 360^{\circ }}$, дорівнює ${\displaystyle \varphi }$, то величина більшого становить ${\displaystyle 360^{\circ }/\varphi \approx 222.5^{\circ }\approx 3.883~{\text{рад}}}$, а меншого — ${\displaystyle 360^{\circ }/\varphi ^{2}\approx 137.5^{\circ }\approx 2.400~{\text{рад}}}$. Зокрема, частка круга, яку охоплює золотий кут, дорівнює $${\displaystyle f={\frac {1}{\varphi ^{2}}}\approx 0.381966\,.}$$

Золотий кут відіграє значну роль у теорії філотаксису; наприклад, золотий кут розділяє квіти в суцвітті соняшника.^[1] Аналіз закономірності показує, що вона дуже чутлива до кута між окремими примордіями, причому кут Фібоначчі забезпечує парастихії з оптимальною щільністю пакування.^[2]

Математичне моделювання правдоподібного фізичного механізму розвитку квітки показало закономірність, що виникає спонтанно в результаті розв'язання нелінійного диференціального рівняння в часткових похідних на площині.^[3][4]

Оскільки синус і косинус золотого кута є трансцендентними числами, його не можна побудувати за допомогою лінійки та циркуля. Художниця Алмада Негрейрос відшукала приблизну побудову з точністю до 0,11°.^[5]

• 137 (число)
• 138 (число)
• Золотий переріз
• Послідовність Фібоначчі

• Weisstein, Eric W. Золотий кут(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.