Вектор-функція

Вектор-функція — функція, значеннями якої є вектори у векторному просторі ${\displaystyle \mathbb {V} }$ двох, трьох або більше вимірів. Аргументами функції можуть бути:

• одна скалярна змінна — тоді значення вектор-функції визначають у ${\displaystyle \mathbb {V} }$ деяку криву;
• ${\displaystyle m}$ скалярних змінних — тоді значення вектор-функції утворюють у ${\displaystyle \mathbb {V} }$, загалом, ${\displaystyle m}$-вимірну поверхню;
• векторна змінна — в цьому випадку вектор-функцію зазвичай розглядають як векторне поле на ${\displaystyle \mathbb {V} }$.

Для наочності далі обмежимося випадком тривимірного простору, хоча поширення на загальний випадок не становить труднощів. Вектор-функція однієї скалярної змінної ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ відображає певний інтервал дійсних чисел ${\displaystyle t_{1}\leqslant t\leqslant t_{2}}$ у множину просторових векторів (інтервал може також бути нескінченним).

Вибравши координатні орти ${\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ,\mathbf {\hat {j}} ,\mathbf {\hat {k}} }$, Ми можемо розкласти вектор-функцію на три координатні функції ${\displaystyle x(t)}$, ${\displaystyle y(t)}$, ${\displaystyle z(t)}$:

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {\hat {i}} +y(t)\mathbf {\hat {j}} +z(t)\mathbf {\hat {k}} }$

Розглянуті як радіус-вектори, значення вектор-функції утворюють у просторі деяку криву, для якої t є параметром.

Кажуть, що вектор-функція ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ має границю ${\displaystyle \mathbf {r_{0}} }$ у точці ${\displaystyle t=t_{0}}$, якщо ${\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}|\mathbf {r} (t)-\mathbf {r_{0}} |=0}$ (тут і далі ${\displaystyle |\mathbf {v} |}$ позначають модуль вектора ${\displaystyle \mathbf {v} }$). Границя вектор-функції має звичайні властивості:

• Границя суми вектор-функцій дорівнює сумі границь доданків (в припущенні, що вони існують).
• Границя скалярного добутку вектор-функцій дорівнює скалярному добутку границь множників.
• Границя векторного добутку вектор-функцій дорівнює векторному добутку границь множників.

Неперервність вектор-функції визначається традиційно.

Визначимо похідну вектор-функції ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ за параметром:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {r} (t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {r} (t+h)-\mathbf {r} (t)}{h}}}$.

Якщо похідна в точці ${\displaystyle t}$ існує, вектор-функція називається диференційовною в цій точці. Координатними функціями для похідної будуть ${\displaystyle x'(t),\ y'(t),\ z'(t)}$.

Властивості похідної вектор-функції (всюди передбачається, що похідні існують):

• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r_{1}} (t)+\mathbf {r_{2}} (t))={\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}}+{\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}}$ — похідна суми є сумою похідних
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(f(t)\mathbf {r} (t))={\frac {df(t)}{dt}}\mathbf {r} (t)+f(t){\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}}$ — тут f (t) — диференційовна скалярна функція.
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r_{1}} (t)\mathbf {r_{2}} (t))={\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}}\mathbf {r_{2}} (t)+\mathbf {r_{1}} (t){\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}}$ — диференціювання скалярного добутку.
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}[\mathbf {r_{1}} (t)\mathbf {r_{2}} (t)]=\left[{\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}}\mathbf {r_{2}} (t)\right]+\left[\mathbf {r_{1}} (t){\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}\right]}$ — диференціювання векторного добутку.
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} (t),\mathbf {b} (t),\mathbf {c} (t))=\left({\frac {d\mathbf {a} (t)}{dt}},\mathbf {b} (t),\mathbf {c} (t)\right)+\left(\mathbf {a} (t),{\frac {d\mathbf {b} (t)}{dt}},\mathbf {c} (t)\right)+\left(\mathbf {a} (t),\mathbf {b} (t),{\frac {d\mathbf {c} (t)}{dt}}\right)}$ — диференціювання мішаного добутку.

Про застосування вектор-функцій однієї скалярної змінної в геометрії див. Диференціальна геометрія кривих.

Для наочності обмежимося випадком двох змінних у тривимірному просторі. Значення вектор-функції ${\displaystyle \mathbf {r} (u,v)}$ (їх годограф) утворюють, загалом, двовимірну поверхню, на якій аргументи ${\displaystyle u,v}$ можна розглядати як внутрішні координати точок поверхні.

У координатах рівняння ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,\ v)}$ має вид:

${\displaystyle x=x(u,\ v);\ y=y(u,\ v);\ z=z(u,\ v)}$

Аналогічно випадку однієї змінної, ми можемо визначити похідні вектор-функції, яких тепер буде дві: ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}}$. Ділянка поверхні буде невиродженою (тобто в нашому випадку — двовимірною), якщо на ньому ${\displaystyle \left[{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right]}$ не перетворюється тотожно на нуль.

Криві на цій поверхні зручно задавати у вигляді:

${\displaystyle u=u(t);\ v=v(t)}$ ,

де ${\displaystyle t}$ — параметр кривої. Залежності ${\displaystyle u(t),\ v(t)}$ передбачаються диференційовними, причому в області, що розглядається, їх похідні не повинні одночасно перетворюватися на нуль. Особливу роль відіграють координатні лінії, що утворюють сітку координат на поверхні:

${\displaystyle u=t;\ v=const}$ — перша координатна лінія.

${\displaystyle u=const;\ v=t}$ — друга координатна лінія.

Якщо на поверхні немає особливих точок (${\displaystyle \left[{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right]}$ ніде не перетворюється на нуль), то через кожну точку поверхні проходять рівно дві координатні лінії.

Докладніше про геометричні застосування вектор-функцій декількох скалярних змінних див. Теорія поверхонь.

• Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. 3-е изд. М.: Высшая школа, 1966.
• Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-е изд. УРСС, 2002)
• Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. [Архівовано 14 листопада 2007 у Wayback Machine.] 9-е изд. М.: Наука, 1965.