Гіпотрохоїда

Гіпотрохоїда — плоска крива, утворена фіксованою точкою, що лежить в площині деякого кола, яке котиться без ковзання по внутрішній стороні іншого нерухомого кола.

Рухоме коло називають твірним (його радіус дорівнює r), нерухоме коло — напрямним (його радіус дорівнює R).^{[1] :стор.806}

Початковою точкою гіпотрохоїди називають таку її точку ${\displaystyle P}$, що лежить на прямій, яка проходить через центр ${\displaystyle C}$ рухомого кола і його точку опори, і знаходиться по той же бік від ${\displaystyle C}$, що і точка опори.^{[1] :стор.805}

Вершиною гіпотрохоїди називають таку її точку ${\displaystyle V}$, що лежить на прямій, яка проходить через центр ${\displaystyle C}$ рухомого кола і його точку опори, і знаходиться з нею по різні боки від ${\displaystyle C}$.^{[1] :стор.806}

Будь-яка гіпотрохоїда має однакову кількість вершин і початкових точок.

Гіпотрохоїда є окремим випадком рулети — кривої, що отримана як траєкторія точки деякої кривої, що котиться без ковзання по іншій нерухомій кривій.

Граничні випадки гіпотрохоїди:

• Якщо радіус напрямного кола прямує до нескінченності (${\displaystyle R\to \infty }$), крива стає трохоїдою з тим же радіусом твірного кола.^{[1] :стор.814}
• Якщо радіус твірного кола прямує до нескінченності (${\displaystyle r\to \infty }$), твірне коло стає прямою, що котиться по нерухомому колу, а отримана крива, що описується фіксованою точкою в площині цієї прямої, є подовженою або скороченою евольвентою кола.

Якщо центр нерухомого кола знаходиться в початку координат, його радіус дорівнює ${\displaystyle R}$, радіус кола, що котиться по ньому дорівнює ${\displaystyle r}$, а відстань від твірної точки до центру рухомого кола дорівнює ${\displaystyle h}$, то гіпотрохоїда описується параметричними рівняннями в прямокутній системі відносно ${\displaystyle \varphi }$:^[2]

${\displaystyle {\begin{cases}x(\varphi )=(R-r)\cos \varphi +h\cdot \cos({\frac {R-r}{r}}\varphi )\\y(\varphi )=(R-r)\sin \varphi -h\cdot \sin({\frac {R-r}{r}}\varphi )\end{cases}}\qquad {\begin{aligned}&0\leq \varphi \leq 2\pi \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}=k-{\text{натуральне число}};\\&0\leq \varphi \leq 2r\cdot \pi \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}={\frac {p}{q}}-{\text{раціональне число}};\\&0\leq \varphi \leq \infty \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}-{\text{ірраціональне число}}.\end{aligned}}}$

При цьому початкова точка гіпотрохоїди, з якої починається утворення кривої, лежить на додатній частині осі ${\displaystyle Ox}$.

Кут ${\displaystyle \varphi }$ — параметр, а саме — це кут нахилу відрізка між центрами твірних кіл до осі ${\displaystyle Ox}$.

Параметричне рівняння повернутої відносно початку координат гіпотрохоїди має вигляд:

${\displaystyle {\begin{cases}x(\varphi )=(R-r)\cos \varphi +h\cdot \cos({\frac {R-r}{r}}\varphi -\alpha )\\y(\varphi )=(R-r)\sin \varphi -h\cdot \sin({\frac {R-r}{r}}\varphi -\alpha )\end{cases}}\qquad {\begin{aligned}&{\frac {r}{R}}\cdot \alpha \leq \varphi \leq 2\pi +{\frac {r}{R}}\cdot \alpha \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}=k-{\text{натуральне число}};\\&{\frac {r}{R}}\cdot \alpha \leq \varphi \leq 2r\cdot \pi +{\frac {r}{R}}\cdot \alpha \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}={\frac {p}{q}}-{\text{раціональне число}};\\&{\frac {r}{R}}\cdot \alpha \leq \varphi \leq \infty \ ,{\text{якщо}}\ ,{\frac {R}{r}}-{\text{ірраціональне число}}.\end{aligned}}}$

При цьому гіпотрохоїда повернута відносно початку координат проти годинникової стрілки на кут ${\displaystyle \beta ={\frac {r}{R}}\cdot \alpha }$ (тобто кут між відрізком, що з'єднує початкову точку гіпотрохоїди (з якої починається утворення кривої) з початком координат, та віссю ${\displaystyle Ox}$ дорівнює ${\displaystyle {\frac {r}{R}}\cdot \alpha }$.

Ввівши величину ${\displaystyle \textstyle k={\frac {R}{r}}}$, отримаємо параметричне рівняння звичайної (неповернутої) гіпотрохоїди у вигляді:

${\displaystyle {\begin{cases}&x(\varphi )=r\cdot (k-1)\cos \varphi +h\cdot \cos \left((k-1)\varphi \right)\\&y(\varphi )=r\cdot (k-1)\sin \varphi -h\cdot \sin \left((k-1)\varphi \right)\end{cases}}}$

де ${\displaystyle R}$ — радіус нерухомого кола,
${\displaystyle r}$ — радіус кола, що котиться,
${\displaystyle h}$ — відстань від твірної точки до центра рухомого кола.

Величина ${\displaystyle k}$ визначає форму гіпотрохоїди (див. нижче).

Ці рівняння можна записати більш компактно у комплексній формі:^[3]

${\displaystyle z(\varphi )=r\cdot (k-1)e^{i\varphi }+h\cdot e^{-i(k-1)\varphi }}$ .

де

• кут ${\displaystyle \varphi \in [0,2\pi ]}$ ;
• радіус твірного (рухомого) кола ${\displaystyle r}$;
• радіус напрямного (нерухомого) кола ${\displaystyle R=kr}$;
• відстань від твірної точки до центра рухомого кола ${\displaystyle h}$.

• Будь-яка гіпотрохоїда лежить в круговому кільці, обмеженому колами з радіусами ${\displaystyle |R-r-h|}$ та ${\displaystyle |R-r+h|}$.

На першому з них лежать вершини, а на другому — початкові точки гіпотрохоїди.

• При повороті навколо початку координат (центру нерухомого кола) ${\displaystyle O}$ на кут, кратний ${\displaystyle 2\pi \cdot {\frac {r}{R}}}$, гіпотрохоїда суміщається сама з собою.^{[1] :стор.812}
• Якщо ${\displaystyle k={\frac {R}{r}}}$ — натуральне число, то гіпотрохоїда є замкненою алгебричною кривою ${\displaystyle 2(k-1)}$ порядку;

Крива складається з ${\displaystyle k}$ конгруентних гілок, а отже, має ${\displaystyle k}$ вершин та початкових точок.

При цьому твірне коло, що обертається навколо нерухомого кола, робить ${\displaystyle (k-1)}$ повних обертів навколо свого центру.

• Якщо ${\displaystyle k={\frac {R}{r}}={\frac {p}{q}}}$ — раціональне число, виражене у вигляді нескоротного дробу, то гіпотрохоїда є замкненою алгебричною кривою ${\displaystyle 2\cdot |p-q|}$ порядку;

Крива складається з ${\displaystyle p}$ конгруентних гілок, а отже, має ${\displaystyle p}$ вершин та початкових точок.

При цьому твірне коло, що обертається навколо нерухомого кола, робить ${\displaystyle |p-q|}$ повних обертів навколо свого центру.

• Якщо ${\displaystyle k}$ — ірраціональне число, то гіпотрохоїда є незамкненою кривою, та має нескінченну кількість гілок, вершин та каспів. При необмеженому збільшенні параметра ${\displaystyle \varphi }$, крива щільно заповнює кільце, обмежене колами з радіусами ${\displaystyle |R-r-h|}$ та ${\displaystyle |R-r+h|}$.
• Гіпотрохоїда має однакову кількість вершин та каспів;
• Гіпотрохоїду з параметрами ${\displaystyle (R,r,h)}$ можна отримати так само як гіпотрохоїду з параметрами.^{[1] :стор.816}

${\displaystyle R_{1}={\frac {h}{r}}\cdot R\,;\quad r_{1}={\frac {h}{r}}\cdot (R-r)\,;\quad h_{1}=R-r}$.

У випадку, коли ${\displaystyle R<r}$, крива ${\displaystyle (R_{1},r_{1},h_{1})}$ є епітрохоїдою з параметрами

${\displaystyle R_{1}={\frac {h}{r}}\cdot R\,;\quad r_{1}={\frac {h}{r}}\cdot (r-R)\,;\quad h_{1}=r-R}$.

Заувага: Гіпотрохоїда, яка при одному способі утворення, була подовженою, при іншому способі утворення виявляється скороченою (і навпаки).

• Властивість нормалі

Нормаль, що проведена через будь-яку точку ${\displaystyle M}$ гіпотрохоїди, проходить через відповідну точку дотику ${\displaystyle E}$ твірного (рухомого) та напрямного (нерухомого) кіл.^{[1] :стор.817}

• Довжина дуги гіпотрохоїди між точками, що відповідають кутам ${\displaystyle 0\leq \varphi \leq \varphi _{1}}$: ^{[1] :стор.818}

${\displaystyle \ell =\left|{\frac {R-r}{r}}\right|\cdot \int _{0}^{\varphi _{1}}{\sqrt {r^{2}+h^{2}-2rh\cdot \cos \left({\frac {R}{2r}}\cdot \varphi \right)}}d\varphi }$

Ця дуга по довжині дорівнює довжині еліпса

${\displaystyle {\begin{cases}&x(\varphi )=2(h-r)\cdot {\frac {R-r}{R}}\cdot \cos \left({\frac {R}{2r}}\cdot \varphi \right)\\&y(\varphi )=2(h+r)\cdot {\frac {R-r}{R}}\cdot \sin \left({\frac {R}{2r}}\cdot \varphi \right)\end{cases}}}$

між точками з тими ж значеннями кута ${\displaystyle \varphi }$.

Інтеграл в загальному випадку не виражається через елементарні функції, але у випадках, коли гіпотрохоїда є гіпоциклоїдою, його можна виразити в елементарних функціях.

Також довжину дуги гіпотрохоїди від її початку до точки, що відповідає параметру ${\displaystyle \varphi }$ можна обчислити за формулою:^[4]

${\displaystyle \ell (\varphi )=2\cdot |(R-r)(r-h)|\cdot E\left({\frac {R}{2r}}\cdot \varphi \,;{\frac {2i\cdot {\sqrt {rh}}}{|r-h|}}\right)}$

де ${\displaystyle \textstyle {E}\left(x\,;m\right)}$ — еліптичний інтеграл другого роду.

• Площа сектора, що описується полярним радіусом ${\displaystyle OM}$ гіпотрохоїди, коли точка ${\displaystyle M}$ пробігає по дузі між точками, що відповідають кутам ${\displaystyle 0\leq \varphi \leq \varphi _{1}}$: ^{[1] :стор.819}

${\displaystyle S={\frac {(R-r)}{2}}\cdot \left(\left(R-r-{\frac {h^{2}}{r}}\right)\cdot \varphi _{1}+{\frac {h(R-2r)}{R}}\cdot \sin \left({\frac {R}{r}}\cdot \varphi _{1}\right)\right).}$

Тут площа розглядається як спрямована величина, тобто приймається, що в тих проміжках зміни параметра ${\displaystyle \varphi }$, де полярний радіус обертається у від'ємному напрямку, він описує від'ємну площу.^{[1] :стор.820}

• Радіус кривини будь-якої гіпотрохоїди в деякій її точці ${\displaystyle M}$, що відповідає куту ${\displaystyle \varphi }$^{[1] :стор.817}:

${\displaystyle \rho =(R-r)\cdot {\frac {\left(r^{2}+h^{2}-2rh\cdot \cos \left({\frac {R}{r}}\cdot \varphi \right)\right)^{3/2}}{\left|r^{3}-h^{2}(R-r)+rh(R-2r)\cdot \cos \left({\frac {R}{r}}\cdot \varphi \right)\right|}}}$

Окремими випадками гіпотрохоїди є:

• Гіпоциклоїда (коли точка, що її утворює, лежить на самому твірному колі, тобто при ${\displaystyle h=r}$);
• Еліпс з центром в початку координат (при параметрах ${\displaystyle R=2r\,;\,h\neq r}$).^[5]

Напіввісі цього еліпса дорівнюють: ${\displaystyle a=r+h\,;\,b=|r-h|}$; кінцями великої осі є початкові точки гіпотрохоїди, кінцями малої осі — її вершини.

Ексцентриситет цього еліпса:

${\displaystyle e={\frac {2{\sqrt {h/r}}}{1+(h/r)}}}$

Якщо за сталих ${\displaystyle R}$ та ${\displaystyle r}$, що пов'язані співвідношенням ${\displaystyle R=2r}$, різниця ${\displaystyle r-h}$ прямує до нуля, то мала вісь еліпса необмежено зменшується, а велика наближається до діаметра напрямного кола. Звичайна гіпоциклоїда, що утворюється в граничному випадку (${\displaystyle r=h}$), являє собою відрізок прямої, а саме той діаметр напрямного кола, що з'єднує початкові точки.

• Троянда з індексом ${\displaystyle n>1}$ (при ${\displaystyle h=R-r}$).^[3]

Початок координат є вузловою точкою.

Рівняння кривої в полярних координатах має вигляд:

${\displaystyle \rho =2h\cdot \cos \left({\frac {k}{k-2}}\cdot \theta \right)}$

• Логотип Adobe Acrobat являє собою дещо деформовану гіпотрохоїду.

• Рулета
• Трохоїда
• Епітрохоїда
• Спірограф — дитяча іграшка, яка дозволяє малювати гіпотрохоїди.

• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. с. 165–168. ISBN 0-486-60288-5.

• Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — изд.10. — москва : Наука, 1973.

• Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. Графики функций : справочник. — К. : Наукова думка, 1979. — С. 295-297.(рос.)

• Weisstein, Eric W. Hypotrochoid(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Trochoid, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Hypotrochoid в архіві MacTutor (англ.)
• Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET Гіпотрохоїда на сайті [Mathcurve] , 2017