Гіпотеза Годжа

Проблеми тисячоліття
Рівність класів P і NP
Гіпотеза Годжа
Гіпотеза Пуанкаре*
Гіпотеза Рімана
Квантова теорія Янга — Міллса
Рівняння Нав'є — Стокса
Гіпотеза Берча і Свіннертона-Даєра
* доведені

Гіпотеза Годжа — важлива проблема алгебричної геометрії. Сформульована шотландським математиком Вільямом Воллансом Дугласом Годжем у період між 1930 — 1940 роками.

Гіпотеза описує класи когомологій на комплексних проєктивних многовидах, реалізовані алгебричними підмноговидами. Тобто, цикли Годжа є комбінаціями об'єктів, які мають геометричну інтерпретацію, — алгебричних циклів.^[1]

У XX столітті математики винайшли потужні методи дослідження форми складних об'єктів. Основна ідея полягає в тому, щоб з'ясувати, до якої міри ми можемо апроксимувати форму даного об'єкта, склеюючи разом прості тіла зростаючої розмірності. Цей метод виявився ефективним для опису різноманітних об'єктів, що зустрічаються в математиці. При цьому були не ясні геометричні обґрунтування методу: в деяких випадках доводилося додавати частини, які не мали ніякого геометричного тлумачення.

Нехай X — компактний комплексний многовид комплексної розмірності n. Тоді X — орієнтований гладкий многовид дійсної розмірності ${\displaystyle 2n}$, так що його групи когомології лежать у степенях від нуля до ${\displaystyle 2n}$. Припустимо, що X — це келерів многовид, тобто існує декомпозиція на його когомології з комплексними коефіцієнтами

${\displaystyle H^{n}(X,\mathbb {C} )=\bigoplus _{p+q=n}H^{p,q}(X),}$

де ${\displaystyle H^{p,q}(X)}$ — підгрупа класів когомології, які представляються гармонічними формами типу ${\displaystyle (p,q)}$ тобто диференціальними формами, які за певного вибору локальних координат ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$ можна записати як гармонічну функцію, помножену на

${\displaystyle dz_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dz_{i_{p}}\wedge d{\bar {z}}_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge d{\bar {z}}_{j_{q}}.}$

(Див. подробиці в статті Теорія Годжа.)

Взяття зовнішніх добутків цих гармонічних добутків відповідає U-добутку в когомології. Отже, U-добуток із комплексними коефіцієнтами сумісний із декомпозицією Годжа:

${\displaystyle \smile \colon H^{p,q}(X)\times H^{p',q'}(X)\rightarrow H^{p+p',q+q'}(X).}$

Оскільки ${\displaystyle X}$ — компактний орієнтований многовид, ${\displaystyle X}$ має фундаментальний клас, і, отже, ${\displaystyle X}$ можна інтегрувати.

Нехай тепер ${\displaystyle Z}$ — комплексний підмноговид ${\displaystyle X}$ розмірності ${\displaystyle k}$, а ${\displaystyle i\colon Z\to X}$ — відображення включення. Виберемо диференціальну форму ${\displaystyle \alpha }$ типу ${\displaystyle (p,q)}$. Ми можемо проінтегрувати ${\displaystyle \alpha }$ за ${\displaystyle Z}$, використовуючи функцію-кодиференціал ${\displaystyle i^{*}}$,

${\displaystyle \int _{Z}i^{*}\alpha }$.

Щоб обчислити цей інтеграл, виберемо точку в ${\displaystyle Z}$ і назвемо її ${\displaystyle z=(z_{1},\ldots ,z_{k})}$. Включення ${\displaystyle Z}$ до ${\displaystyle X}$ означає, що ми можемо вибрати локальні координати ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}}$ на ${\displaystyle X}$ так, що ${\displaystyle Z}$ буде підмножиною ${\displaystyle z_{k+1}=\cdots =z_{n}=0}$. Якщо ${\displaystyle p>k}$, то ${\displaystyle \alpha }$ має містити деяке ${\displaystyle dz_{i}}$ де ${\displaystyle z_{i}}$ відкидається назад на нуль у ${\displaystyle Z}$. Те ж саме істинне стосовно ${\displaystyle d{\bar {z}}_{j}}$, якщо ${\displaystyle q>k}$. Отже, цей інтеграл дорівнює нулю, якщо ${\displaystyle (p,q)\neq (k,k)}$.

З іншого боку, інтеграл можна записати як добуток-перетин класу когомологій ${\displaystyle Z}$ та класу когомологій, представленого у вигляді ${\displaystyle \alpha }$. За двоїстістю Пуанкаре, клас гомологій ${\displaystyle Z}$ двоїстий класу когомологій, який ми назвемо ${\displaystyle [Z]}$, і добуток-перетин можна обчислити взяттям U-добутку від ${\displaystyle [Z]}$ і α та перетином із фундаментальним класом ${\displaystyle X}$.

Оскільки ${\displaystyle [Z]}$ — клас когомологій, він має декомпозицію Годжа. За обчисленням вище, якщо ми візьмемо U-добуток цього класу з будь-яким класом типу ${\displaystyle (p,q)\neq (k,k)}$, то отримаємо нуль. Оскільки ${\displaystyle H^{2n}(X,\mathbb {C} )=H^{n,n}(X)}$, ми приходимо до висновку, що ${\displaystyle [Z]}$ має лежати в ${\displaystyle H^{n-k,n-k}(X)}$.

Тепер, гіпотеза Годжа (спрощено) запитує:

Які класи когомологій ${\displaystyle H^{k,k}(X)}$ походять із комплексних підмноговидів ${\displaystyle Z}$?

Нехай

${\displaystyle \operatorname {Hdg} ^{k}(X)=H^{2k}(X,\mathbb {Q} )\cap H^{k,k}(X).}$

Назвемо це групою класів Годжа степеня 2k на ${\displaystyle X}$.

Сучасне формулювання гіпотези Годжа таке:

Гіпотеза Годжа. Нехай ${\displaystyle X}$ — невироджений проєктивний комплексний многовид. Тоді кожен клас Годжа на ${\displaystyle X}$ є лінійною комбінацією класів когомологій комплексних підмноговидів ${\displaystyle X}$ із раціональними коефіцієнтами.^[2]

Проєктивний комплексний многовид — комплексний многовид, який можна вкласти в комплексний проєктивний простір. Оскільки проєктивний простір несе в собі метрику Келера у вигляді метрики Фубіні — Штуді, такий многовид завжди келерів. За теоремою Чоу, проєктивний комплексний многовид є гладким проєктивним алгебричним многовидом, тобто, це множина нулів набору однорідних многочленів.

Інший спосіб формулювання гіпотези Годжа включає ідею алгебричних циклів. Алгебричний цикл на ${\displaystyle X}$ — це формальна комбінація підмноговидів ${\displaystyle X}$; тобто, це щось у вигляді:

${\displaystyle \sum _{i}c_{i}Z_{i}.}$

Коефіцієнти в цій формулі зазвичай беруться цілими чи раціональними. Визначимо клас когомології алгебричного циклу як суму класів когомології його компонентів. Це приклад відображення класів циклів когомології де Рама (див. Когомологія Вейля). Наприклад, клас когомології циклу, визначеного вище, запишеться як:

${\displaystyle \sum _{i}c_{i}[Z_{i}].}$

Такий клас когомології називають «алгебричним». З використанням цієї нотації гіпотезу Годжа можна сформулювати так:

Нехай ${\displaystyle X}$ — проєктивний комплексний многовид. Тоді кожен клас Годжа на ${\displaystyle X}$ є алгебричним.

Припущення в гіпотезі Годжа, що ${\displaystyle X}$ є алгебричним (проєктивний комплексний многовид) не може бути ослаблене. 1977 року Стівен Цукер показав, що можливо побудувати контрприклад до гіпотези Годжа у вигляді комплексних торів з аналітичною раціональною когомологією типу ${\displaystyle (p,p)}$, яка не є проєктивною алгебричною. (Див. додаток B в Цукер, (1977))

Перші результати з гіпотези Годжа з'явилися у праці Лефшеца, (1924). Насправді, ця праця передувала самій гіпотезі та певною мірою надихнула Годжа.

Теорема (Теорема Лефшеца на (1,1)-класах). Будь-який елемент ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )\cap H^{1,1}(X)}$ є класом когомології дивізора на ${\displaystyle X}$. Зокрема, гіпотеза Годжа істинна для ${\displaystyle H^{2}}$.

Вкрай швидке доведення можна провести, використовуючи когомологію пучків та експоненційну точну послідовність. (Клас когомології дивізора виявляється рівним його першому класу Чженя.) Спочатку Лефшец доводив цю теорему через нормальні функції, які ввів Анрі Пуанкаре. Проте, теорема трансверсальності Грифітса показує, що цей підхід неспроможний довести гіпотезу Годжа для підмноговидів вищої корозмірності.

За складною теоремою Лефшеца можна довести наступне:

Теорема. Якщо гіпотеза Годжа виконується для класів Годжа степеня ${\displaystyle p}$ для всіх ${\displaystyle p<n}$, то вона виконується і для класів Годжа степеня ${\displaystyle 2n-p}$.

З комбінації двох теорем вище випливає, що гіпотеза Годжа виконується для класів Годжа степеня ${\displaystyle 2n-2}$, що доводить її для випадків, коли ${\displaystyle X}$ має розмірність не більше трьох.

З теореми Лефшеца на (1,1)-класах також випливає, якщо всі класи Годжа породжені класами Годжа дивізорів, то гіпотеза Годжа істинна:

Наслідок. Якщо алгебра ${\displaystyle \operatorname {Hdg} ^{*}(X)=\bigoplus \nolimits _{k}\operatorname {Hdg} ^{k}(X)}$ породжена ${\displaystyle \operatorname {Hdg} ^{1}(X)}$, то гіпотеза Годжа виконується для ${\displaystyle X}$.

За сильною і слабкою теоремами Лефшеца, єдиною нетривіальною частиною гіпотези Годжа для гіперповерхонь є частина для степеня ${\displaystyle m}$ (тобто середня когомологія) ${\displaystyle 2m}$-вимірної гіперповерхні ${\displaystyle X\subset \mathbf {P} ^{2m+1}}$. Якщо степінь ${\displaystyle d}$ дорівнює 2, тобто ${\displaystyle X}$ є квадрикою, гіпотеза Годжа виконується для всіх ${\displaystyle m}$. Для ${\displaystyle m=2}$, тобто, чотиривиду, відомо, що гіпотеза Годжа виконується для всіх ${\displaystyle d\leqslant 5}$.

Для багатьох абелевих многовидів, алгебра ${\displaystyle Hdg^{*}(X)}$ породжена в степені 1. Отже, гіпотеза Годжа для них виконується. Зокрема, гіпотеза Годжа виконується для досить загальних абелевих многовидів, для добутків еліптичних кривих і для простих абелевих многовидів розмірності, що дорівнює простому числу.^[3][4][5] Однак, Мамфорд, (1969) побудував приклад абелевого многовиду, на якому ${\displaystyle Hdg^{2}(X)}$ не породжена добутками класів дивізорів. Вейль, (1977) узагальнив цей приклад, показавши, що якщо на многовиді задано комплексне множення в уявному квадратичному полі, то ${\displaystyle Hdg^{2}(X)}$ не породжена добутками класів дивізорів. Мунен та Зархін, (1999) довели, що в розмірності менше, ніж 5, виконується одне з двох: або ${\displaystyle Hdg^{*}(X)}$ породжена в степені 1, або на многовиді задано комплексне множення в уявному квадратичному полі. В останньому випадку відомо, що гіпотеза Годжа виконується лише для особливих випадків.

Оригінальною гіпотезою Годжа було таке твердження:

Цілочисельна гіпотеза Годжа. Нехай ${\displaystyle X}$ — проєктивний комплексний многовид. Тоді кожен клас когомології ${\displaystyle H^{2k}(X,\mathbb {Z} )\cap H^{k,k}(X)}$ є класом когомології алгебричного циклу з цілочисельними коефіцієнтами на ${\displaystyle X}$.

Нині відомо, що це не так. Перший контрприклад побудовано в праці Атія та Гірцебрух, (1961). Використовуючи K-теорію, вони побудували приклад класу когомології кручення — тобто, клас когомології ${\displaystyle \alpha }$ такий, що ${\displaystyle n\alpha =0}$ для деякого додатного цілого ${\displaystyle n}$ — який не є класом алгебричних циклів. Такий клас необхідно є класом Годжа. Тотаро, (1997) інтерпретував цей результат у рамках кобордизму та знайшов багато прикладів таких класів.

Найпростіше виправлення цього твердження таке:

Цілочисельна гіпотеза Годжа за модулем кручення. Нехай ${\displaystyle X}$ — проєктивний комплексний многовид. Тоді кожен клас когомології в ${\displaystyle H^{2k}(X,\mathbb {Z} )\cap H^{k,k}(X)}$ є сумою класу кручення та класу когомології алгебричного циклу з цілими коефіцієнтами на ${\displaystyle X}$.

Еквівалентно, після поділу ${\displaystyle H^{2k}(X,\mathbb {Z} )\cap H^{k,k}(X)}$ на класи кручення кожен клас є образом класу когомології цілочисельного алгебричного класу. Це твердження також неправильне. Коллар, (1992) знайшов приклад класу Годжа ${\displaystyle \alpha }$, який не є алгебричним, але, після множення на деяке ціле число, може бути зведений до алгебричного.

Розеншон та Срінівас, (2016) показали, що для отримання коректної цілочисельної гіпотези Годжа, треба замінити групи Чоу, котрі можна також виразити, як групи мотивної когомології, їх варіантом, який називають етальною мотивною когомологією (або мотивною когомологією Ліхтенбаума). Вони показали, що початкова раціональна гіпотеза Годжа еквівалентна цілочисельній гіпотезі Годжа для цієї модифікованої мотивної когомології.

Природне узагальнення гіпотези Годжа запитує:

Гіпотеза Годжа для келерових многовидів, наївна (проста) версія. Нехай ${\displaystyle X}$ — комплексний келерів многовид. Тоді кожен клас Годжа на ${\displaystyle X}$ є лінійною комбінацією класів когомології комплексних підмноговидів ${\displaystyle X}$ із раціональними коефіцієнтами.

Це надто оптимістично, оскільки існує недостатньо підмноговидів, щоб це працювало. Можливою заміною була б одна з двох таких гіпотез:

Гіпотеза Годжа для келерових многовидів, версія із векторними розшаруваннями. Нехай ${\displaystyle X}$ — комплексний келерів многовид. Тоді кожен клас Годжа на ${\displaystyle X}$ є лінійною комбінацією класів Черна векторних розшарувань на ${\displaystyle X}$ із раціональними коефіцієнтами.

Гіпотеза Ходжа для келерових многовидів, версія з когерентними пучками. Нехай X — комплексний келерів многовид. Тоді кожен клас Годжа на ${\displaystyle X}$ є лінійною комбінацією класів Черна когерентних пучків на ${\displaystyle X}$ із раціональними коефіцієнтами.

Вуазен, (2002) довела, що класи Черна когерентних пучків дають строго більше класів Годжа, ніж класи Черна векторних розшарувань і що класів Черна когерентних пучків недостатньо для породження всіх класів Годжа. Отже, всі відомі формулювання узагальнення гіпотези Годжа на келерові многовиди є хибними.

Годж також висунув додаткову, сильнішу гіпотезу, ніж цілочисельна гіпотеза Годжа. Визначимо, що клас когомології на ${\displaystyle X}$ лежить на корівні ${\displaystyle c}$ (coniveau c), якщо він є результатом узяття диференціалу класу когомології на ${\displaystyle c}$-ковимірному многовиді ${\displaystyle X}$. Класи когомології корівня як мінімум ${\displaystyle c}$ фільтрують когомологію ${\displaystyle X}$, і легко бачити, що ${\displaystyle c}$-ий крок фільтрації ${\displaystyle N^{c}H^{k}(X,\mathbf {Z} )}$ задовольняє

${\displaystyle N^{c}H^{k}(X,\mathbf {Z} )\subseteq H^{k}(X,\mathbf {Z} )\cap (H^{k-c,c}(X)\oplus \cdots \oplus H^{c,k-c}(X)).}$

Початковим твердженням Годжа було таке:

Узагальнена гіпотеза Годжа. ${\displaystyle N^{c}H^{k}(X,\mathbf {Z} )=H^{k}(X,\mathbf {Z} )\cap (H^{k-c,c}(X)\oplus \cdots \oplus H^{c,k-c}(X)).}$

Гротендік, (1969) показав, що це не може бути істинним навіть із раціональними коефіцієнтами, оскільки вираз у правій частині не завжди є структурою Годжа. Його виправлена версія цієї гіпотези виглядає так:

Узагальнена гіпотеза Годжа. ${\displaystyle N^{c}H^{k}(X,\mathbf {Q} )}$ є найбільшою підструктурою Годжа ${\displaystyle H^{k}(X,\mathbf {Z} )}$, яка міститься в ${\displaystyle H^{k-c,c}(X)\oplus \cdots \oplus H^{c,k-c}(X).}$

Ця версія узагальненої гіпотези Годжа відкрита.

Найсильнішим свідченням на підтримку гіпотези Годжа є алгебричний результат Каттані, Делінь та Каплан, (1995). Припустимо, що ми змінюємо комплексну структуру ${\displaystyle X}$ над просто зв'язною основою. Тоді топологічна когомологія ${\displaystyle X}$ не змінюється, але декомпозиція Годжа змінюється. Відомо, що якщо гіпотеза Годжа істинна, то локус усіх точок на основі, де когомологія волокон є класом Годжа, насправді є алгебричною підмножиною, тобто, його межа виражається поліноміальним рівнянням. Каттані, Делінь & Каплан (1995) довели, що це виконується в будь-якому випадку без залучення гіпотези Годжа.

• S. Zucker, The Hodge conjecture for cubic fourfolds, Comp. Math. 34 (1977), 199—209.(англ.)
• Атія, М. Ф.; Гірцебрух, Ф. (1961), Analytic cycles on complex manifolds, Topology, 1: 25—45, doi:10.1016/0040-9383(62)90094-0 Доступно из Hirzebruch collection (pdf).
• Каттані, Едуардо; Делінь, П'єр; Каплан, Арольдо (1995), On the locus of Hodge classes, Journal of the American Mathematical Society, 8 (2): 483—506, arXiv:alg-geom/9402009, doi:10.2307/2152824, JSTOR 2152824, MR 1273413.
• Гротендік, A. (1969), Hodge's general conjecture is false for trivial reasons, Topology, 8 (3): 299—303, doi:10.1016/0040-9383(69)90016-0.
• Годж, В. В. Д. (1950), The topological invariants of algebraic varieties, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Кембридж, MA, 1: 181—192.
• Коллар, Янош (1992), Trento examples, у Ballico, E.; Catanese, F.; Ciliberto, C. (ред.), Classification of irregular varieties, Lecture Notes in Math., т. 1515, Springer, с. 134, ISBN 978-3-540-55295-6.
• Лефшец, Соломон (1924), L'Analysis situs et la géométrie algébrique, Collection de Monographies publiée sous la Direction de M. Émile Borel (фр.), Paris: Gauthier-Villars Reprinted in Lefschetz, Solomon (1971), Selected papers, New York: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0234-7, MR 0299447.
• Мунен, Бен Дж. Дж.; Зархін, Юрій Г. (1999), Hodge classes on abelian varieties of low dimension, Mathematische Annalen, 315 (4): 711—733, arXiv:math/9901113, doi:10.1007/s002080050333, MR 1731466, S2CID 119180172.
• Мамфорд, Девід (1969), A Note of Shimura's paper "Discontinuous groups and abelian varieties", Mathematische Annalen, 181 (4): 345—351, doi:10.1007/BF01350672, S2CID 122062924.
• Розеншон, Андреас; Срінівас, В. (2016), Étale motivic cohomology and algebraic cycles (PDF), Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu, 15 (3): 511—537, doi:10.1017/S1474748014000401, MR 3505657, S2CID 55560040, Zbl 1346.19004
• Тотаро, Берт (1997), Torsion algebraic cycles and complex cobordism, Journal of the American Mathematical Society, 10 (2): 467—493, arXiv:alg-geom/9609016, doi:10.1090/S0894-0347-97-00232-4, JSTOR 2152859, S2CID 16965164.
• Вуазен, Клер (2002), A counterexample to the Hodge conjecture extended to Kähler varieties, International Mathematics Research Notices, 2002 (20): 1057—1075, doi:10.1155/S1073792802111135, MR 1902630, S2CID 55572794.
• Вейль, Андре (1977), Abelian varieties and the Hodge ring, Collected papers, т. III, с. 421—429
• Цукер, Стівен (1977), The Hodge conjecture for cubic fourfolds, Compositio Mathematica, 34 (2): 199—209, MR 0453741
• Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. — М. : Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3.

• Проблемы 2000 года: гипотеза Ходжа Архівовано січень 19, 2017 на сайті Wayback Machine. // Компьютерра, 14 жовтня 2005 року (рос.)
• Делінь, П'єр. The Hodge Conjecture (PDF) (The Clay Math Institute official problem description).
• Популярні лекції про гіпотезу Годжа від Дена Фріда (University of Texas) (Видео) (Слайды)
• Бісвас, Індраніл; Паранджапе, Капіл Гарі (2002), The Hodge Conjecture for general Prym varieties, Journal of Algebraic Geometry, 11 (1): 33—39, arXiv:math/0007192, doi:10.1090/S1056-3911-01-00303-4, MR 1865912, S2CID 119139470
• Бурт Тотаро, Why believe the Hodge Conjecture?
• Клер Вуазен, Hodge loci