Гіперболоїд

Гіперболоїд
Формула	${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=\pm 1}$
Є об'єднанням	див. список:d
Гіперболоїд у Вікісховищі

Гіперболо́їд (грец. hyperbole — гіпербола, і грец. eidos — подібність) — вид поверхні другого порядку в тривимірному просторі, що задається в Декартових координатах рівнянням

${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1}$ (однопорожнинний гіперболоїд), де a і b — дійсні півосі, а c — уявна піввісь;

або

${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1}$ (двопорожнинний гіперболоїд), де a і b — уявні півосі, а c — дійсна піввісь.

Якщо a = b, то така поверхня зветься — гіперболоїд обертання. Однопорожнинний гіперболоїд обертання можна отримати обертанням гіперболи навколо її уявної осі, двопорожнинний — навколо дійсної. Двопорожнинний гіперболоїд обертання також є геометричним місцем точок P, модуль різниці відстаней від яких до двох заданих точок A і B є сталим: ${\displaystyle |AP-BP|=const}$. У такому випадку точки A і B звуться фокусами Гіперболоїда.

Однопорожнинний гіперболоїд є двічі лінійчатою поверхнею. Якщо він є гіперболоїдом обертання, то його можна отримати обертанням прямої навколо іншої прямої, що є мимобіжною з нею. Цю властивість лінійчатих однопорожнинних гіперболоїдів використовують в архітектурі. Зокрема, вежа Шухова в Москві є гіперболоїдною конструкцією. Вона складена саме з гіперболоїдів, що утворені прямими стрижнями.

Уявні гіперболоїди — звичне явище в математиці високих розмірностей. Наприклад, у псевдо-Евклідовому просторі розглянемо квадратичну форму:

${\displaystyle q(x)=(x_1^2+\cdots +x_k^2)-(x_{k+1}^2+\cdots +x_n^2),k<n.}$

Якщо c є довільною сталою, то частина простору, в межах

${\displaystyle \{x:q(x)=c\}}$

називається гіперболоїдом. Випадок, коли c = 0 є виродженим.

Геометрію гіперболоїда можна просто описати, представивши його вкладеним в фіктивний чотиривимірний простір:

${\displaystyle x_1^2-x_2^2-x_3^2-x_4^2=R^2,d{l}^2=-d{x}_1^2+d{x}_2^2+d{x}_3^2+d{x}_4^2(1)}$.

Введенням координат

${\displaystyle x_1=R\text{ch}(\psi ),x_2=R\cos (\phi )\text{sh}(\psi )\sin (\theta ),x_3=R\sin (\phi )\text{sh}(\psi )\sin (\theta ),x_4=R\cos (\theta )\text{sh}(\psi )}$

можна задовольнити ${\displaystyle (1)}$, а елементи довжин на поверхні матимуть вигляд (елементарно перевіряється підстановкою)

${\displaystyle d{l}^2=R^2(d{\psi }^2+{\text{sh}}^2(\psi )(d{\theta }^2+{\sin }^2(\theta )d{\phi }^2))(2)}$.

Як видно, метричний тензор має специфічну структуру: є діагональним, перший діагональний елемент рівен одиниці, другий залежить від першої змінної, третій — від першої і другої, а від третьої змінної залежності немає, що, деякою мірою, відповідає ізотропії простору.

Виходячи із цього, можна визначити вирази для символів Кристоффеля: маючи загальний вираз

${\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}_{jl}^k=\frac{1}{2}{g}^{km}({\partial }_l{g}_{mj}+{\partial }_j{g}_{ml}-{\partial }_m{g}_{jl})}$,

де метричний тензор ${\displaystyle g_{lj}}$ має вигляд

${\displaystyle g_{lj}=\text{diag}(R^2,R^2{\text{sh}}^2(\psi ),R^2{\text{sh}}^2(\psi ){\sin }^2(\theta )),g^{lj}=\text{diag}(R^{-2},R^{-2}{\text{sh}}^{-2}(\psi ),R^{-2}{\text{sh}}^{-2}(\psi ){\sin }^{-2}(\theta ))(3)}$,

для частинних випадків виразів можна отримати

${\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}_{ll}^k=\frac{1}{2}{g}^{km}(2{\partial }_l{g}_{ml}-{\partial }_m{g}_{ll})=g^{km}{\partial }_l{g}_{ml}-\frac{1}{2}{g}^{kk}{\partial }_k{g}_{ll}=-\frac{1}{2}{g}^{kk}{\partial }_k{g}_{ll}(4)}$;

${\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}_{kk}^k=\frac{1}{2}{g}^{km}(2{\partial }_k{g}_{km}-{\partial }_m{g}_{kk})=\frac{1}{2}{g}^{kk}{\partial }_k{g}_{kk}=0(5)}$;

оскільки, в силу структури метричних тензорів, ${\displaystyle {\partial }_0{g}_{00}={\partial }_h{g}_{hh}=0}$;

${\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}_{lk}^k=\frac{1}{2}{g}^{km}({\partial }_l{g}_{mk}+{\partial }_k{g}_{ml}-{\partial }_m{g}_{lk})=\frac{1}{2}{g}^{kk}{\partial }_l{g}_{kk}(6)}$;

${\displaystyle {{\mathrm{\Gamma }}_{lj}^k}^{(3)}=\frac{1}{2}{g}^{km}({\partial }_l{g}_{mj}+{\partial }_j{g}_{ml}-{\partial }_m{g}_{lj})=\frac{1}{2}{g}^{kk}{\partial }_l{g}_{kk}{\delta }_{kj}+\frac{1}{2}{g}^{kk}{\partial }_j{g}_{kk}{\delta }_{kl}-\frac{1}{2}{g}^{kk}{\partial }_k{g}_{jl}{\delta }_{jl}={\mathrm{\Gamma }}_{lk}^k{\delta }_j^k+{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^k{\delta }_l^k+{\mathrm{\Gamma }}_{ll}^k{\delta }_j^l(7)}$.

Тепер можна спростити (якомога більше зменшити кількість сум) вираз для тензора Річчі: маючи загальне визначення,

${\displaystyle R_{lj}^{(3)}={\partial }_k{\mathrm{\Gamma }}_{jl}^k-{\partial }_l{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^k+{\mathrm{\Gamma }}_{jl}^k{\mathrm{\Gamma }}_{k\sigma }^{\sigma }-{\mathrm{\Gamma }}_{l\sigma }^k{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^{\sigma }(8)}$,

та вирази ${\displaystyle (4)-(7)}$,

для тензора можна отримати (сума лише по індексах ${\displaystyle k,\sigma }$)

${\displaystyle R_{lj}^{(3)}={\partial }_j{\mathrm{\Gamma }}_{lj}^j+{\partial }_l{\mathrm{\Gamma }}_{jl}^l+{\partial }_k{\mathrm{\Gamma }}_{ll}^k{\delta }_j^l-{\partial }_l{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^k+{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^k{\mathrm{\Gamma }}_{lj}^j+{\mathrm{\Gamma }}_{lk}^k{\mathrm{\Gamma }}_{jl}^l+{\mathrm{\Gamma }}_{k\sigma }^{\sigma }{\mathrm{\Gamma }}_{ll}^k{\delta }_j^l-{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^k{\mathrm{\Gamma }}_{lk}^k-{\mathrm{\Gamma }}_{jl}^l{\mathrm{\Gamma }}_{lj}^j-2{\mathrm{\Gamma }}_{kj}^l{\mathrm{\Gamma }}_{ll}^k{\delta }_j^l-{\mathrm{\Gamma }}_{ll}^j{\mathrm{\Gamma }}_{jj}^l(9)}$.

Тепер можна застосувати спрощений вигляд для тензора Річчі до метрики описаних вище просторів. Наприклад, можна взяти гіперболічний простір. Треба обчислити компоненти ${\displaystyle R_{ij}}$. Спочатку доведеться отримати, користуючись ${\displaystyle (4)-(7)}$, явний вигляд для символів Кристоффеля:

${\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}_{11}^1={\mathrm{\Gamma }}_{22}^2={\mathrm{\Gamma }}_{33}^3={\mathrm{\Gamma }}_{23}^1={\mathrm{\Gamma }}_{12}^3={\mathrm{\Gamma }}_{21}^1={\mathrm{\Gamma }}_{31}^1={\mathrm{\Gamma }}_{32}^2={\mathrm{\Gamma }}_{11}^2={\mathrm{\Gamma }}_{11}^3=0}$,

${\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}_{13}^3=\frac{1}{2}{g}^{33}{\partial }_1(g_{33})=\frac{2sh(\psi )\text{ch}(\psi )}{2{\text{sh}}^2(\psi )}=\text{cth}(\psi ),{\mathrm{\Gamma }}_{12}^2={\mathrm{\Gamma }}_{13}^3}$,

${\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}_{22}^1=-\frac{1}{2}{g}^{11}{\partial }_1(g_{22})=-\text{sh}(\psi )\text{ch}(\psi )}$,

${\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}_{23}^3=\frac{1}{2}{g}^{33}{\partial }_2(g_{33})=\text{ctg}(\theta )}$,

${\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}_{33}^1=-\frac{1}{2}{g}^{11}{\partial }_1(g_{33})=-{\sin }^2(\theta )\text{sh}(\psi )\text{ch}(\psi )}$,

${\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}_{33}^2=-\frac{1}{2}{g}^{22}{\partial }_2(g_{33})=-\sin (\theta )\cos (\theta )}$.

Тоді, наприклад, компонента 11 тензора, із урахуванням цих виразів та ${\displaystyle (9)}$, має вираз

${\displaystyle R_{11}=-{\partial }_1{\mathrm{\Gamma }}_{1k}^k-{\mathrm{\Gamma }}_{1k}^k{\mathrm{\Gamma }}_{1k}^k=-{\partial }_1({\mathrm{\Gamma }}_{12}^2+{\mathrm{\Gamma }}_{13}^3)-({\mathrm{\Gamma }}_{12}^2{)}^2-({\mathrm{\Gamma }}_{13}^3{)}^2=-2{\partial }_1\text{cth}(\psi )-2{\text{cth}}^2(\psi )=\frac{2}{{\text{sh}}^2(\psi )}-2{\text{cth}}^2(\psi )=-2}$.

Компонента 22:

${\displaystyle R_{22}={\partial }_k{\mathrm{\Gamma }}_{22}^k-{\partial }_2{\mathrm{\Gamma }}_{2k}^k+{\mathrm{\Gamma }}_{k\sigma }^{\sigma }{\mathrm{\Gamma }}_{22}^k-({\mathrm{\Gamma }}_{2k}^k{)}^2-2{\mathrm{\Gamma }}_{2k}^2{\mathrm{\Gamma }}_{22}^k={\partial }_1{\mathrm{\Gamma }}_{22}^1-{\partial }_2{\mathrm{\Gamma }}_{23}^3+({\mathrm{\Gamma }}_{22}^1{\mathrm{\Gamma }}_{1\sigma }^{\sigma }+{\mathrm{\Gamma }}_{22}^3{\mathrm{\Gamma }}_{3\sigma }^{\sigma })-({\mathrm{\Gamma }}_{23}^3{)}^2-2({\mathrm{\Gamma }}_{12}^2{\mathrm{\Gamma }}_{22}^1+{\mathrm{\Gamma }}_{32}^2{\mathrm{\Gamma }}_{22}^3)=}$

${\displaystyle =-\text{ch}(2\psi )+\frac{1}{{\sin }^2(\theta )}+2{\mathrm{\Gamma }}_{22}^1{\mathrm{\Gamma }}_{12}^2-{\text{ctg}}^2(\theta )+2{\text{ch}}^2(\psi )=-\text{ch}(2\psi )+1-2{\text{ch}}^2(\psi )+2{\text{ch}}^2(\psi )=-{\text{sh}}^2(\psi )}$.

Компонента 33:

${\displaystyle R_{33}={\partial }_k{\mathrm{\Gamma }}_{33}^k-{\partial }_3{\mathrm{\Gamma }}_{3k}^k+{\mathrm{\Gamma }}_{k\sigma }^{\sigma }{\mathrm{\Gamma }}_{33}^k-({\mathrm{\Gamma }}_{3k}^k{)}^2-2{\mathrm{\Gamma }}_{k3}^3{\mathrm{\Gamma }}_{3k}^3=}$

${\displaystyle =({\partial }_1{\mathrm{\Gamma }}_{33}^1+{\partial }_2{\mathrm{\Gamma }}_{33}^2)+({\mathrm{\Gamma }}_{1\sigma }^{\sigma }{\mathrm{\Gamma }}_{33}^1+{\mathrm{\Gamma }}_{2\sigma }^{\sigma }{\mathrm{\Gamma }}_{33}^2)-2({\mathrm{\Gamma }}_{13}^3{\mathrm{\Gamma }}_{33}^1+{\mathrm{\Gamma }}_{23}^3{\mathrm{\Gamma }}_{33}^2)=}$

${\displaystyle =-{\sin }^2(\theta )ch(2\psi )-\cos (2\theta )-2{\sin }^2(\theta ){\text{ch}}^2(\psi )-{\cos }^2(\theta )+2{\sin }^2(\theta ){\text{ch}}^2(\psi )+2{\cos }^2(theta)=|\text{ch}(2\psi )=1+2{\text{sh}}^2(\psi )|=}$

${\displaystyle =-2{\sin }^2(\theta ){\text{sh}}^2(\psi )-{\sin }^2(\theta )-{\cos }^2(\theta )+{\sin }^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=-2{\sin }^2(\theta ){\text{sh}}^2(\psi )}$.

Аналогічні викладки (перевіряються повністю ідентично попереднім) дають

${\displaystyle R_{ij}=0,i\ne j}$.

Отже, для гіперболоїда

${\displaystyle {R_{ij}}_1=-\frac{2}{R^2}{g}_{ij}(10)}$.

Згортаючи тензор Річчі із метричним тензором (відповідно до визначення скалярної кривини), можна отримати, що для гіперболоїда скалярна кривина рівна

${\displaystyle R_1=-\frac{2}{R^2}{g}_{ij}{g}^{ij}=-\frac{6}{R^2}}$.

Отже, гіперболічний простір — простір з постійною скалярною кривиною.

Лінійчата конструкція, що має форму однополостного гіперболоїда, є жорсткої: якщо балки з'єднати шарнірно, гіперболоїдна конструкція все одно буде зберігати свою форму під дією зовнішніх сил.

Для високих споруд основну небезпеку несе вітрове навантаження, а у ґратчастої конструкції вона невелика. Ці особливості роблять гіперболоїдні конструкції міцними, незважаючи на невисоку матеріаломісткість.

Прикладами гіперболоїдних конструкцій є:

• Вежа Шухова
• Аджигольський маяк
• Телевежа Гуанчжоу
• Aspire Tower

• Гіперболоїд інженера Гаріна (хоча насправді це мав бути параболоїд)

• Параболоїд — інший вид поверхні другого порядку
• Гіперболічний параболоїд
• Гіперболоїдні конструкції

• Синцов Д.М. Диференціяльна геометрія. — Х.: : Радянська школа, 1931. — 272 с.(укр.)
• Привалов І.І.. Аналітична геометрія. — 17-е. — Київ : ДВТЛ УРСР, 1953. — 400 с.(укр.)
• Білоусова В.П., Ільїн І.Г., Сергунова О.П., Котлова В.М. Аналітична геометрія. — К. : Рад. шк, 1957. — 382 с.
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2026. — 2538 с.(укр.)
• Гіперболоїди // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 157. — 594 с.
• Weisstein, Eric W. Гіперболоїд(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.