YaChudo

Великі числа

Переглядів: 0. Оновлено 04.11.2026.

Великі числа — числа, що значно більші, ніж ті, які зазвичай використовуються в повсякденному житті (наприклад, у простому рахунку чи грошових операціях), часто з’являються в таких областях, як математика, космологія, криптографія та статистична механіка.

Гугологія — розділ математики, об'єктами якого є великі числа і їх номенклатура[1][2]. Термін був утворений як комбінація слів «гугол» (класичне велике число) і «логос» (вчення).

Історія

III ст. до н. е. — Архімед у своїй праці «Псамміт» представив позначення, що дозволяє записувати числа до 10 8 × 10 16 {\displaystyle 10^{8\times 10^{16}}} [3].

I століття — В буддистському священному тексті Аватамсака-сутра було згадано число ≈ 10 10 32 {\displaystyle \approx 10^{10^{32}}}

1928 рік — Вільгельм Аккерман опублікував свою функцію.

1940 рік — Едвард Казнер описав числа гугол ( 10 100 {\displaystyle 10^{100}} ) та гуголплекс ( 10 10 100 {\displaystyle 10^{10^{100}}} )[4].

1947 рік — Рубен Гудштейн дав найменування операцій тетрації ( a ↑↑ b {\displaystyle a\uparrow \uparrow b} ), пентації ( a ↑↑↑ b {\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b} ) та гексації ( a ↑ 4 b {\displaystyle a\uparrow ^{4}b} )[5].

1970 рік — С. Вайнер дав визначення швидкозростаючої ієрархії[6].

1976 рік — Дональд Кнут винайшов нотацію Кнута [7] (межа ω {\displaystyle \omega } у термінології швидкозростаючої ієрархії).

1977 рік — М. Гарднер в журналі Scientific American описав число Грема[8] ( G = g ( 64 ) = f 64 ( 4 ) {\displaystyle G=g(64)=f^{64}(4)} , де f ( n ) = 3 ↑ n 3 {\displaystyle f(n)=3\uparrow ^{n}3} . Функція g ( n ) {\displaystyle g(n)} має швидкість росту порядку ω + 1 {\displaystyle \omega +1} ).

1983 рік — була винайдена нотація Штейнгауза — Мозера[9](межа ω {\displaystyle \omega } ).

1995 рік — Д. Конвей винайшов ланцюгову стрілочну нотацію (межа ω 2 {\displaystyle \omega ^{2}} ).

2002 рік — Джонатан Бауерс опублікував свою нотацію масиву (межа ω ω {\displaystyle \omega ^{\omega }} ) і розширене позначення масиву (межа ω ω ω {\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega }}} ). У 2007 році Бауерс визначив ще більше своєю дужою позначення BEAF (ця нотація добре визначена до ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} числа, що перевищують цей рівень, викликають суперечливість оцінок).

  • Х. Фридман дав визначення функції TREE(n), що має швидкість зростання θ ( Ω ω ω ) {\displaystyle \theta (\Omega ^{\omega }\omega )} .

2011 рік — С. Сайбіан (S. Saibian) запропонував гіпер-Е позначення (межа ω {\displaystyle \omega } ), в 2013 році створену на її основі каскадну-Е позначення[10][11] (межа ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} ) і в 2014 році розширену каскадну-Е позначення (межа φ ( ω , 0 , 0 ) {\displaystyle \varphi (\omega ,0,0)} ).

Список гугологізмів

Математичні об'єкти, що мають відношення до гугології (зокрема великі числа), називаються гугологізмами. В даний час найменування дані для декількох тисяч чисел, переважаючих гугол. Нижче наведено список деяких гугологізмів та їх вираження в найбільш відомих нотаціях[12]. Перед виразом в тій нотації, в якій число було записано автором, стоїть знак рівності, вираження для того ж числа в інших нотаціях являють собою апроксимації.

Ім'я числа Степінь

десяти

нотація Кнута нотація Конвея нотація Бауерса нотация Сайбиана швидкозростаюча ієрархія
Гугол = 10 100 {\displaystyle =10^{100}} 10 ↑ 100 {\displaystyle 10\uparrow 100} 10 → 100 {\displaystyle 10\rightarrow 100} { 10 , 100 } {\displaystyle \{10,100\}} E 100 {\displaystyle E100} f 2 ( 324 ) {\displaystyle f_{2}(324)}
Гуголплекс = 10 10 100 {\displaystyle =10^{10^{100}}} 10 ↑ ( 10 ↑ 100 ) {\displaystyle 10\uparrow (10\uparrow 100)} 10 → ( 10 → 100 ) {\displaystyle 10\rightarrow (10\rightarrow 100)} { 10 , { 10 , 100 } } {\displaystyle \{10,\{10,100\}\}} E 100 # 2 {\displaystyle E100\#2} f 2 2 ( 324 ) {\displaystyle f_{2}^{2}(324)}
Гиггол (Giggol) 10 10 10 ⋯ 10 10 ⏟ 100 десяток {\displaystyle \underbrace {10^{10^{10^{\cdots ^{10^{10}}}}}} _{\text{100 десяток}}} 10 ↑ 2 100 {\displaystyle 10\uparrow ^{2}100} 10 → 100 → 2 {\displaystyle 10\rightarrow 100\rightarrow 2} = { 10 , 100 , 2 } {\displaystyle =\{10,100,2\}} E 1 # 100 {\displaystyle E1\#100} f 3 ( 100 ) {\displaystyle f_{3}(100)}
Гаггол (Gaggol) 10 10 10 ⋯ 10 10 ⏟ 10 10 10 ⋯ 10 10 ⏟ ⋮ ⏟ 10 10 10 ⋯ 10 10 ⏟ 10 десяток } 100  {\displaystyle \left.{\begin{matrix}&&\underbrace {10^{10^{10^{\cdots ^{10^{10}}}}}} \\&&\underbrace {10^{10^{10^{\cdots ^{10^{10}}}}}} \\&&\underbrace {\quad \quad \;\;\vdots \quad \quad \;\;} \\&&\underbrace {10^{10^{10^{\cdots ^{10^{10}}}}}} \\&&{\text{10 десяток}}\end{matrix}}\right\}{\text{100 }}} 10 ↑ 3 100 {\displaystyle 10\uparrow ^{3}100} 10 → 100 → 3 {\displaystyle 10\rightarrow 100\rightarrow 3} = { 10 , 100 , 3 } {\displaystyle =\{10,100,3\}} E 1 # 1 # 100 {\displaystyle E1\#1\#100} f 4 ( 100 ) {\displaystyle f_{4}(100)}
Бугол (Boogol) 10 ↑ 100 100 {\displaystyle 10\uparrow ^{100}100} 10 → 10 → 100 {\displaystyle 10\rightarrow 10\rightarrow 100} = { 10 , 10 , 100 } {\displaystyle =\{10,10,100\}} E 100 # # 100 {\displaystyle E100\#\#100} f 101 ( 100 ) {\displaystyle f_{101}(100)}
Число Грема = 3 ↑↑ ⋯ ↑↑ 3 ⏟ 3 ↑↑ ⋯ ↑↑ 3 ⏟ ⋮ ⏟ 3 ↑↑ ⋯ ↑↑ 3 ⏟ 3 ↑ 4 3  стрілок } 64  {\displaystyle =\left.{\begin{matrix}&&\underbrace {3\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 3} \\&&\underbrace {3\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 3} \\&&\underbrace {\quad \quad \;\;\vdots \quad \quad \;\;} \\&&\underbrace {3\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 3} \\&&3\uparrow ^{4}3{\text{ стрілок}}\end{matrix}}\right\}{\text{64 }}} 3 → 3 → 65 → 2 {\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2} { 3 , 65 , 1 , 2 } {\displaystyle \{3,65,1,2\}} E ( 3 ) 3 # # 4 # 64 {\displaystyle E(3)3\#\#4\#64} f ω + 1 ( 64 ) {\displaystyle f_{\omega +1}(64)}
Траддом (Traddom)[13] 10 → 10 → 11 → 4 {\displaystyle 10\rightarrow 10\rightarrow 11\rightarrow 4} { 10 , 10 , 3 , 2 } {\displaystyle \{10,10,3,2\}} E 10 # # 10 # # 4 {\displaystyle E10\#\#10\#\#4} = f ω + 3 ( 10 ) {\displaystyle =f_{\omega +3}(10)}
Биггол (Biggol) 10 → 10 → 10 → 100 {\displaystyle 10\rightarrow 10\rightarrow 10\rightarrow 100} = { 10 , 10 , 100 , 2 } {\displaystyle =\{10,10,100,2\}} E 100 # # 100 # # 100 {\displaystyle E100\#\#100\#\#100} f ω .2 ( 100 ) {\displaystyle f_{\omega .2}(100)}
Трултом (Trultom) 10 → 10 → 10 → 10 → 11 {\displaystyle 10\rightarrow 10\rightarrow 10\rightarrow 10\rightarrow 11} { 10 , 10 , 10 , 3 } {\displaystyle \{10,10,10,3\}} E 10 # # # 4 {\displaystyle E10\#\#\#4} = f ω .3 ( 10 ) {\displaystyle =f_{\omega .3}(10)}
Тругол (Troogol) 10 → 10 → ⋯ → 10 ⏟ 101 → {\displaystyle \underbrace {10\rightarrow 10\rightarrow \cdots \rightarrow 10} _{101\quad \rightarrow }} = { 10 , 10 , 10 , 100 } {\displaystyle =\{10,10,10,100\}} E 100 # # # 100 {\displaystyle E100\#\#\#100} f ω 2 ( 100 ) {\displaystyle f_{\omega ^{2}}(100)}

Числа наведені нижче знаходяться вже за межами застосування нотацій Кнута і Конвея.

Ім'я числа Нотація Бауерса

(BEAF)

Нотація Сайбіана Швидкозростаюча

ієрархія

Квадругол (Quadroogol) = { 10 , 10 , 10 , 10 , 100 } {\displaystyle =\{10,10,10,10,100\}} E 100 # # # # 100 {\displaystyle E100\#\#\#\#100} f ω 3 ( 100 ) {\displaystyle f_{\omega ^{3}}(100)}
Квадрексом (Quadrexom) { 10 , 10 , 10 , 10 , 10 , 10 } {\displaystyle \{10,10,10,10,10,10\}} E 10 # # # # # 10 {\displaystyle E10\#\#\#\#\#10} = f ω 4 ( 10 ) {\displaystyle =f_{\omega ^{4}}(10)}
Квинтугол (Quintoogol) = { 10 , 10 , 10 , 10 , 10 , 100 } {\displaystyle =\{10,10,10,10,10,100\}} E 100 # # # # # 100 {\displaystyle E100\#\#\#\#\#100} f ω 4 ( 100 ) {\displaystyle f_{\omega ^{4}}(100)}
Губол (Goobol) = { 10 , 100 ( 1 ) 2 } = {\displaystyle =\{10,100(1)2\}=}

= { 10 , 10 , 10 , ⋯ , 10 , 10 } ⏟ 100 десяток {\displaystyle =\underbrace {\{10,10,10,\cdots ,10,10\}} _{100\quad {\text{десяток}}}}

E 100 # 99 100 {\displaystyle E100\#^{99}100} f ω 98 ( 100 ) {\displaystyle f_{\omega ^{98}}(100)}
Бубол (Boobol) = { 10 , 10 , 100 ( 1 ) 2 } {\displaystyle =\{10,10,100(1)2\}} E100#^#100##100 f ω ω + 99 ( 100 ) {\displaystyle f_{\omega ^{\omega }+99}(100)}
Трубол (Troobol) = { 10 , 10 , 10 , 100 ( 1 ) 2 } {\displaystyle =\{10,10,10,100(1)2\}} E100#^#100###101 f ω ω + ω 2 ( 100 ) {\displaystyle f_{\omega ^{\omega }+\omega ^{2}}(100)}
Квадрубол (Quadroobol) = { 10 , 10 , 10 , 10 , 100 ( 1 ) 2 } {\displaystyle =\{10,10,10,10,100(1)2\}} E100#^#100####101 f ω ω + ω 3 ( 100 ) {\displaystyle f_{\omega ^{\omega }+\omega ^{3}}(100)}
Гутрол (Gootrol) = { 10 , 100 ( 1 ) 3 } {\displaystyle =\{10,100(1)3\}} E100#^#100#^#100 f ω ω .2 ( 100 ) {\displaystyle f_{\omega ^{\omega }.2}(100)}
Госсол (Gossol) = { 10 , 10 ( 1 ) 100 } {\displaystyle =\{10,10(1)100\}} E100#^#*#100 f ω ω + 1 ( 100 ) {\displaystyle f_{\omega ^{\omega +1}}(100)}
Моссол (Mossol) = { 10 , 10 ( 1 ) 10 , 100 } {\displaystyle =\{10,10(1)10,100\}} E100#^#*##100 f ω ω + 2 ( 100 ) {\displaystyle f_{\omega ^{\omega +2}}(100)}
Боссол (Bossol) = { 10 , 10 ( 1 ) 10 , 10 , 100 } {\displaystyle =\{10,10(1)10,10,100\}} E100#^#*###100 f ω ω + 3 ( 100 ) {\displaystyle f_{\omega ^{\omega +3}}(100)}
Троссол (Trossol) = { 10 , 10 ( 1 ) 10 , 10 , 10 , 100 } {\displaystyle =\{10,10(1)10,10,10,100\}} E100#^#*####100 f ω ω + 4 ( 100 ) {\displaystyle f_{\omega ^{\omega +4}}(100)}
Дубол (Dubol) = { 10 , 100 ( 1 ) ( 1 ) 2 } {\displaystyle =\{10,100(1)(1)2\}} E100#^#*#^#100 f ω ω .2 ( 100 ) {\displaystyle f_{\omega ^{\omega .2}}(100)}
Дутрол (Dutrol) = { 10 , 100 ( 1 ) ( 1 ) 3 } {\displaystyle =\{10,100(1)(1)3\}} E100#^#*#^#100#^#*#^#100 f ω ω .2 .2 ( 100 ) {\displaystyle f_{\omega ^{\omega .2}.2}(100)}
Колоссол (Colossol) = { 10 , 10 ( 3 ) 2 } {\displaystyle =\{10,10(3)2\}} E10#^###10 f ω ω 3 ( 10 ) {\displaystyle f_{\omega ^{\omega ^{3}}}(10)}
Тероссол (Terossol) = { 10 , 10 ( 4 ) 2 } {\displaystyle =\{10,10(4)2\}} E10#^####10 f ω ω 4 ( 10 ) {\displaystyle f_{\omega ^{\omega ^{4}}}(10)}
Петоссол (Petossol) = { 10 , 10 ( 5 ) 2 } {\displaystyle =\{10,10(5)2\}} E10#^#####10 f ω ω 5 ( 10 ) {\displaystyle f_{\omega ^{\omega ^{5}}}(10)}
Гонгулус (Gongulus) = { 10 , 10 ( 100 ) 2 } {\displaystyle =\{10,10(100)2\}} E10#^#^#100 f ω ω 100 ( 10 ) {\displaystyle f_{\omega ^{\omega ^{100}}}(10)}
Годтосол (Godtothol) { 100 , 100 ( ( 1 ) 1 ) 2 } {\displaystyle \{100,100((1)1)2\}} =E100#^#^#^#100 f ω ω ω ω ( 100 ) {\displaystyle f_{\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}}}(100)}
Годтопол (Godtopol) { 100 , 100 ( ( ( 1 ) 1 ) 1 ) 2 } {\displaystyle \{100,100(((1)1)1)2\}} =E100#^#^#^#^#^#100 f ω ↑↑ 6 ( 100 ) {\displaystyle f_{\omega \uparrow \uparrow 6}(100)}
Годоктол (Godoctol) { 100 , 100 ( ( ( ( 0 , 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) 2 } {\displaystyle \{100,100((((0,1)1)1)1)2\}} =E100#^#^#^#^#^#^#^#^#100 f ω ↑↑ 9 ( 100 ) {\displaystyle f_{\omega \uparrow \uparrow 9}(100)}
Декотетром (Dekotetrom) X ↑ 2 9 & 10 {\displaystyle X\uparrow ^{2}9\&10} E10#^^#10 = f ω ↑↑ 10 ( 10 ) {\displaystyle =f_{\omega \uparrow \uparrow 10}(10)}
Гоппатос (Goppatoth) = 10 ↑↑ 100 & 10 {\displaystyle =10\uparrow \uparrow 100\&10} E10#^^#101 f ε 0 ( 101 ) {\displaystyle f_{\varepsilon _{0}}(101)}
Тесракросс (Tethracross) X ↑ 3 X 2 & 100 {\displaystyle X\uparrow ^{3}X^{2}\&100} =E100#^^##100 f ζ 0 ( 100 ) {\displaystyle f_{\zeta _{0}}(100)}
Тесракубор (Tethracubor) X ↑ 4 101 & 100 {\displaystyle X\uparrow ^{4}101\&100} =E100#^^###100 f η 0 ( 100 ) {\displaystyle f_{\eta _{0}}(100)}
Тесратерон (Tethrateron) X ↑ 5 101 & 100 {\displaystyle X\uparrow ^{5}101\&100} =E100#^^####100 f φ ( 4 , 0 ) ( 100 ) {\displaystyle f_{\varphi (4,0)}(100)}
Пентаксулум (Pentacthulhum) { X , X , 1 , 2 } & 100 {\displaystyle \{X,X,1,2\}\&100} =E100#^^^#100 f Γ 0 ( 99 ) {\displaystyle f_{\Gamma _{0}}(99)}
Гексаксулум (Hexacthulhum) { X , X , 1 , 3 } & 100 {\displaystyle \{X,X,1,3\}\&100} =E100#^^^^#100 f φ ( 2 , 0 , 0 ) ( 99 ) {\displaystyle f_{\varphi (2,0,0)}(99)}
Годсгодгулус (Godsgodgulus) { X , X , 1 , 99 } & 100 {\displaystyle \{X,X,1,99\}\&100} =E100#^{100}^#100 f φ ( 98 , 0 , 0 ) ( 99 ) {\displaystyle f_{\varphi (98,0,0)}(99)}
TREE(3) f θ ( Ω ω ω ) ( 3 ) {\displaystyle f_{\theta (\Omega ^{\omega }\omega )}(3)}

Див. також

Примітки

  1. ↑ One Million Things: A Visual Encyclopedia. New York, New York 10014, United States: DK Publishing. 2008. с. 286. ISBN 978-0-7566-3843-6.{{cite book}}: Обслуговування CS1: Сторінки з неправильним використанням параметра location (посилання)
  2. ↑ Googology. Архів оригіналу за 11 жовтня 2016. Процитовано 10 жовтня 2016.
  3. ↑ The Sand Reckoner (Arenario). Архів оригіналу за 7 серпня 2016. Процитовано 8 жовтня 2016.
  4. ↑ Kasner, Edward; Newman, James R. (1940). Mathematics and the Imagination. Simon and Schuster, New York. ISBN 0-486-41703-4. Архів оригіналу за 3 липня 2014. Процитовано 10 жовтня 2016. The relevant passage about the googol and googolplex, attributing both of these names to Kasner's nine-year-old nephew, is available in James R. Newman, ред. (2000) [1956]. The world of mathematics, volume 3. Mineola, New York: Dover Publications. с. 2007—2010. ISBN 978-0-486-41151-4.
  5. ↑ Goodstein, R. L. (1947).
  6. ↑ Löb, M.H. and Wainer, S.S., "Hierarchies of Number Theoretic Functions I, II: A Correction, " Arch.
  7. ↑ Knuth, D. E. (1976) «Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness.» [Архівовано 24 серпня 2013 у Wayback Machine.]
  8. ↑ Gardner, M. (1977) «Mathematical games: In which joining sets of points leads into diverse (and diverting) paths» [Архівовано 19 жовтня 2013 у Wayback Machine.] Scientific American 237(5), 18-28. doi:10.1038/scientificamerican1177-18.
  9. ↑ Steinhaus-Moser Notation — MathWorld. Архів оригіналу за 13 жовтня 2016. Процитовано 10 жовтня 2016.
  10. ↑ Sbiis, Saibian One to Infinity [Архівовано 13 жовтня 2016 у Wayback Machine.].
  11. ↑ Cascading-E notation [Архівовано 13 жовтня 2016 у Wayback Machine.]. Проверено 9 октября 2016.
  12. ↑ List of googologisms [Архівовано 21 листопада 2016 у Wayback Machine.]. Проверено 10 октября 2016.
  13. ↑ Traddom. Архів оригіналу за 11 жовтня 2016. Процитовано 10 жовтня 2016.

Джерело: стаття у Вікіпедії та історія редагувань (автори).