Всесвіт Mixmaster

Всесвіт Mixmaster (названий на честь Sunbeam Mixmaster, бренду електричних кухонних міксерів Sunbeam Products)^[1] — це розв'язок польових рівнянь Ейнштейна загальної теорії відносності, який вивчав Чарльз Мізнер у 1969 році, аби краще зрозуміти динаміку раннього Всесвіту^[2]. Він сподівався вирішити проблему горизонту природним шляхом, показавши, що ранній Всесвіт пережив коливальну, хаотичну епоху.

Модель подібна до замкнутого всесвіту Фрідмана-Леметра-Робертсона-Вокера тим, що просторові зрізи позитивно викривлені та є топологічно трисферичними. ${\displaystyle S^{3}}$ Однак, у всесвіті ФРВ, ${\displaystyle S^{3}}$ може лише розширюватися або стискатися, при цьому єдиним динамічним параметром є загальний розмір ${\displaystyle S^{3}}$, параметризований масштабним коефіцієнтом ${\displaystyle a(t)}$.

У всесвіті Mixmaster, ${\displaystyle S^{3}}$ може розширюватися або стискатися, але також деформуватися анізотропно. Його еволюція описується масштабним коефіцієнтом ${\displaystyle a(t)}$ а також двома параметрами форми ${\displaystyle \beta _{\pm }(t)}$.

Значення параметрів форми описують спотворення ${\displaystyle S^{3}}$ що зберігають його об'єм, а також підтримують постійний скаляр кривини Річчі. Отже, оскільки три параметри ${\displaystyle a,\beta _{\pm }}$ приймають різні значення, зберігається однорідність, але не ізотропія.

Модель характеризується складною динамічною структурою. Мізнер показав, що параметри форми ${\displaystyle \beta _{\pm }(t)}$ можна розглядати як координати ефективної точкової маси, яка рухається в трикутному потенціалі з крутими стінками та за наявності тертя. Аналізуючи динаміку цієї системи, він встановив, що фізичний Всесвіт може одночасно розширюватися в одних напрямках і стискатися в інших, при цьому напрями розширення та стиснення багаторазово змінюються з часом. Враховуючи приблизно трикутну форму потенціалу, Мізнер припустив, що така еволюція має хаотичний характер.

Метрика, досліджена Мізнером (дуже незначно змінена з його нотацій), задається так:

${\displaystyle {\text{d}}s^{2}=-{\text{d}}t^{2}+\sum _{k=1}^{3}{L_{k}^{2}(t)}\sigma _{k}\otimes \sigma _{k}}$

де

${\displaystyle L_{k}=R(t)e^{\beta _{k}}}$

і ${\displaystyle \sigma _{k}}$, що розглядаються як диференціальні форми, визначаються як

${\displaystyle \sigma _{1}=\sin \psi {\text{d}}\theta -\cos \psi \sin \theta {\text{d}}\phi }$

${\displaystyle \sigma _{2}=\cos \psi {\text{d}}\theta +\sin \psi \sin \theta {\text{d}}\phi }$

${\displaystyle \sigma _{3}=-{\text{d}}\psi -\cos \theta {\text{d}}\phi }$

З точки зору координат ${\displaystyle (\theta ,\psi ,\phi )}$. Вони задовольняють

${\displaystyle {\text{d}}\sigma _{i}={\frac {1}{2}}\epsilon _{ijk}\sigma _{j}\wedge \sigma _{k}}$

де ${\displaystyle {\text{d}}}$ є зовнішньою похідною та ${\displaystyle \wedge }$ клиноподібний добуток диференціальних форм. 1-форми ${\displaystyle \sigma _{i}}$ утворюють лівоінваріантний кофрейм на групі Лі SU(2), який є дифеоморфним 3- сфері ${\displaystyle S^{3}}$, тому просторову метрику в моделі Мізнера можна стисло описати як просто лівоінваріантну метрику на трисфері. Дійсно, з точністю до спряженої дії SU(2) це фактично загальна лівоінваріантна метрика. Оскільки метрика розвивається за допомогою рівняння Ейнштейна, геометрія цієї ${\displaystyle S^{3}}$ зазвичай анізотропно спотворюється. Мізнер визначає параметри ${\displaystyle \Omega (t)}$ і ${\displaystyle R(t)}$ які вимірюють об'єм просторових зрізів, а також «параметри форми» ${\displaystyle \beta _{k}}$, від

${\displaystyle R(t)=e^{-\Omega (t)}=(L_{1}(t)L_{2}(t)L_{3}(t))^{1/3},\quad \sum _{k=1}^{3}\beta _{k}(t)=0}$.

Оскільки є одна умова на трьох ${\displaystyle \beta _{k}}$, має бути лише дві вільні функції, які Мізнер і обирає ${\displaystyle \beta _{\pm }}$, визначений як

${\displaystyle \beta _{+}=\beta _{1}+\beta _{2}=-\beta _{3},\quad \beta _{-}={\frac {\beta _{1}-\beta _{2}}{\sqrt {3}}}}$

Еволюція Всесвіту потім описується шляхом знаходження ${\displaystyle \beta _{\pm }}$ як функції ${\displaystyle \Omega }$.

Мізнер припускав, що хаотична динаміка моделі може сприяти згладжуванню раннього Всесвіту. Крім того, у періоди, коли один із просторових напрямків перебував у статичному стані (наприклад, під час переходу від розширення до стиснення), відповідний горизонт Габбла ${\displaystyle H^{-1}}$ формально ставав нескінченним. На думку Мізнера, це могло забезпечити розв'язання проблеми горизонту, оскільки частинки мали б достатньо часу для взаємодії в цьому напрямку. Оскільки напрями розширення та стиснення постійно змінювалися, він припускав, що за достатньо тривалого часу проблема горизонту могла б бути усунена для всіх просторових напрямків.

Хоча це цікавий приклад гравітаційного хаосу, широко визнано, що космологічні проблеми, які намагається вирішити всесвіт Mixmaster, елегантніше вирішуються за допомогою космічної інфляції. Метрика, яку досліджував Мізнер, також відома як метрика Б'янкі типу IX.

До 1970-х років переважна частина фізиків вважала, що внутрішня область чорної діри Шварцшильда зазнає колапсу до гострої сингулярності. Проте наприкінці 1960-х років радянські фізики Володимир Белінський, Ісаак Халатніков та Євген Ліфшиц показали, що така поведінка є характерною лише для випадку, коли внутрішній простір-час чорної діри не зазнає жодних збурень. Наявність будь-яких збурень, наприклад спричинених падінням матерії або випромінювання, призводить до виникнення хаотичних коливань простору поблизу сингулярності, які описуються динамікою Міксмастера. Матерія, що падає в чорну діру, зазнає надзвичайно сильних приливних сил, унаслідок чого її деформація постійно змінюється за напрямками, одночасно відбувається її стискання до дедалі меншого об'єму^[3][4][5].

• Класифікація Б'янкі
• Сингулярність BKL