YaChudo

Автоковаріація

Переглядів: 0. Оновлено 09.11.2026.

У теорії ймовірностей та статистиці для заданого стохастичного процесу автоковаріа́ція (англ. autocovariance) — це функція, яка дає коваріацію цього процесу із самим собою в парах моментів часу. Автоковаріація процесу тісно пов'язана з його автокореляцією.

Автоковаріація стохастичних процесів

Визначення

За звичайного позначення E {\displaystyle \operatorname {E} } для оператора математичного сподівання, якщо стохастичний процес { X t } {\displaystyle \left\{X_{t}\right\}} має функцію середнього значення μ t = E ⁡ [ X t ] {\displaystyle \mu _{t}=\operatorname {E} [X_{t}]} , то автоковаріацію визначають як[1]:с. 162

K X X ⁡ ( t 1 , t 2 ) = cov ⁡ [ X t 1 , X t 2 ] = E ⁡ [ ( X t 1 − μ t 1 ) ( X t 2 − μ t 2 ) ] = E ⁡ [ X t 1 X t 2 ] − μ t 1 μ t 2 {\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {cov} \left[X_{t_{1}},X_{t_{2}}\right]=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}})(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})]=\operatorname {E} [X_{t_{1}}X_{t_{2}}]-\mu _{t_{1}}\mu _{t_{2}}}

 

 

 

 

(1)

де t 1 {\displaystyle t_{1}} та t 2 {\displaystyle t_{2}}  — два моменти часу.

Визначення для слабко стаціонарного процесу

Якщо { X t } {\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}  — слабко стаціонарний процес, то має місце наступне:[1]:с. 163

μ t 1 = μ t 2 ≜ μ {\displaystyle \mu _{t_{1}}=\mu _{t_{2}}\triangleq \mu } для всіх t 1 , t 2 {\displaystyle t_{1},t_{2}}

і

E ⁡ [ | X t | 2 ] < ∞ {\displaystyle \operatorname {E} [|X_{t}|^{2}]<\infty } для всіх t {\displaystyle t}

і

K X X ⁡ ( t 1 , t 2 ) = K X X ⁡ ( t 2 − t 1 , 0 ) ≜ K X X ⁡ ( t 2 − t 1 ) = K X X ⁡ ( τ ) , {\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1},0)\triangleq \operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1})=\operatorname {K} _{XX}(\tau ),}

де τ = t 2 − t 1 {\displaystyle \tau =t_{2}-t_{1}}  — запізнювання в часі (англ. time lag), або кількість часу, на яку було зміщено сигнал.

Таким чином, автоковаріаційна функція слабко стаціонарного процесу задається як[2]:с. 517

K X X ⁡ ( τ ) = E ⁡ [ ( X t − μ t ) ( X t − τ − μ t − τ ) ] = E ⁡ [ X t X t − τ ] − μ t μ t − τ {\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} [(X_{t}-\mu _{t})(X_{t-\tau }-\mu _{t-\tau })]=\operatorname {E} [X_{t}X_{t-\tau }]-\mu _{t}\mu _{t-\tau }}

 

 

 

 

(2)

що рівнозначне

K X X ⁡ ( τ ) = E ⁡ [ ( X t + τ − μ t + τ ) ( X t − μ t ) ] = E ⁡ [ X t + τ X t ] − μ 2 {\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} [(X_{t+\tau }-\mu _{t+\tau })(X_{t}-\mu _{t})]=\operatorname {E} [X_{t+\tau }X_{t}]-\mu ^{2}} .

Унормовування

Поширеною практикою в деяких дисциплінах (наприклад, у статистиці та аналізі часових рядів) є унормовувати автоковаріаційну функцію, щоб отримувати залежний від часу коефіцієнт кореляції Пірсона. Проте в деяких інших дисциплінах (наприклад, в інженерії) унормовування зазвичай пропускають, а терміни «автокореляція» та «автоковаріація» використовують як взаємозамінні.

Визначення нормованої автокореляції стохастичного процесу:

ρ X X ( t 1 , t 2 ) = K X X ⁡ ( t 1 , t 2 ) σ t 1 σ t 2 = E ⁡ [ ( X t 1 − μ t 1 ) ( X t 2 − μ t 2 ) ] σ t 1 σ t 2 {\displaystyle \rho _{XX}(t_{1},t_{2})={\frac {\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}={\frac {\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}})(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})]}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}} .

Якщо функція ρ X X {\displaystyle \rho _{XX}} однозначно визначена, її значення мусять лежати в діапазоні [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} , причому 1 вказує на ідеальну кореляцію, а −1 — на ідеальну антикореляцію.

Для слабко стаціонарного процесу визначення таке:

ρ X X ( τ ) = K X X ⁡ ( τ ) σ 2 = E ⁡ [ ( X t − μ ) ( X t + τ − μ ) ] σ 2 {\displaystyle \rho _{XX}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XX}(\tau )}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} [(X_{t}-\mu )(X_{t+\tau }-\mu )]}{\sigma ^{2}}}} .

де

K X X ⁡ ( 0 ) = σ 2 {\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(0)=\sigma ^{2}} .

Властивості

Властивість симетрії

K X X ⁡ ( t 1 , t 2 ) = K X X ⁡ ( t 2 , t 1 ) ¯ {\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})={\overline {\operatorname {K} _{XX}(t_{2},t_{1})}}} [3]:с.169

відповідно, для слабко стаціонарного процесу:

K X X ⁡ ( τ ) = K X X ⁡ ( − τ ) ¯ {\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(\tau )={\overline {\operatorname {K} _{XX}(-\tau )}}} [3]:с.173

Лінійні фільтри

Автоковаріацією процесу з лінійним фільтром { Y t } {\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}

Y t = ∑ k = − ∞ ∞ a k X t + k {\displaystyle Y_{t}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}X_{t+k}\,}

є

K Y Y ( τ ) = ∑ k , l = − ∞ ∞ a k a l K X X ( τ + k − l ) . {\displaystyle K_{YY}(\tau )=\sum _{k,l=-\infty }^{\infty }a_{k}a_{l}K_{XX}(\tau +k-l).\,}

Обчислення турбулентної дифузійності

Автоковаріацію можливо використовувати для обчислення турбулентної дифузійності.[4] Турбулентність у потоці може спричинювати флуктуації швидкості в просторі й часі. Таким чином, ми можемо визначати турбулентність за допомогою статистики цих флуктуацій[джерело?].

Для визначання флуктуацій швидкості u ′ ( x , t ) {\displaystyle u'(x,t)} використовують розклад Рейнольдса (припустімо, що ми зараз працюємо з одновимірною задачею, й U ( x , t ) {\displaystyle U(x,t)}  — швидкість уздовж напрямку x {\displaystyle x} ):

U ( x , t ) = ⟨ U ( x , t ) ⟩ + u ′ ( x , t ) , {\displaystyle U(x,t)=\langle U(x,t)\rangle +u'(x,t),}

де U ( x , t ) {\displaystyle U(x,t)}  — істинна швидкість, а ⟨ U ( x , t ) ⟩ {\displaystyle \langle U(x,t)\rangle }  — математичне сподівання швидкості. Якщо ми оберемо правильне ⟨ U ( x , t ) ⟩ {\displaystyle \langle U(x,t)\rangle } , то всі стохастичні складові турбулентної швидкості буде включено до u ′ ( x , t ) {\displaystyle u'(x,t)} . Щоби визначити ⟨ U ( x , t ) ⟩ {\displaystyle \langle U(x,t)\rangle } , необхідний набір вимірювань швидкості, зібраних із точок у просторі, моментів часу, або повторюваних експериментів.

Якщо ми припускаємо, що турбулентний потік ⟨ u ′ c ′ ⟩ {\displaystyle \langle u'c'\rangle } ( c ′ = c − ⟨ c ⟩ {\displaystyle c'=c-\langle c\rangle } , а c — член концентрації) може бути викликано випадковим блуканням, то для вираження члену турбулентного потоку ми можемо використовувати закони дифузії Фіка:

J turbulence x = ⟨ u ′ c ′ ⟩ ≈ D T x ∂ ⟨ c ⟩ ∂ x . {\displaystyle J_{{\text{turbulence}}_{x}}=\langle u'c'\rangle \approx D_{T_{x}}{\frac {\partial \langle c\rangle }{\partial x}}.}

Автоковаріація швидкості визначається як

K X X ≡ ⟨ u ′ ( t 0 ) u ′ ( t 0 + τ ) ⟩ {\displaystyle K_{XX}\equiv \langle u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\rangle } або K X X ≡ ⟨ u ′ ( x 0 ) u ′ ( x 0 + r ) ⟩ , {\displaystyle K_{XX}\equiv \langle u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\rangle ,}

де τ {\displaystyle \tau }  — часове, а r {\displaystyle r}  — просторове відставання.

Турбулентну дифузійність D T x {\displaystyle D_{T_{x}}} можливо обчислювати за допомогою наступних 3 методів:

  1. Якщо маємо дані про швидкість уздовж лагранжевої траєкторії:
    D T x = ∫ τ ∞ u ′ ( t 0 ) u ′ ( t 0 + τ ) d τ . {\displaystyle D_{T_{x}}=\int _{\tau }^{\infty }u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\,d\tau .}
  2. Якщо маємо дані про швидкість в одному нерухомому (ейлеровому) положенні[джерело?]:
    D T x ≈ [ 0.3 ± 0.1 ] [ ⟨ u ′ u ′ ⟩ + ⟨ u ⟩ 2 ⟨ u ′ u ′ ⟩ ] ∫ τ ∞ u ′ ( t 0 ) u ′ ( t 0 + τ ) d τ . {\displaystyle D_{T_{x}}\approx [0.3\pm 0.1]\left[{\frac {\langle u'u'\rangle +\langle u\rangle ^{2}}{\langle u'u'\rangle }}\right]\int _{\tau }^{\infty }u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\,d\tau .}
  3. Якщо маємо інформацію про швидкість у двох нерухомих (ейлерових) положеннях[джерело?]:
    D T x ≈ [ 0.4 ± 0.1 ] [ 1 ⟨ u ′ u ′ ⟩ ] ∫ r ∞ u ′ ( x 0 ) u ′ ( x 0 + r ) d r , {\displaystyle D_{T_{x}}\approx [0.4\pm 0.1]\left[{\frac {1}{\langle u'u'\rangle }}\right]\int _{r}^{\infty }u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\,dr,}
    де r {\displaystyle r}  — відстань, розділена цими двома нерухомими положеннями.

Автоковаріація випадкових векторів

Див. також

Примітки

  1. ↑ а б Hsu, Hwei (1997). Probability, random variables, and random processes. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-030644-8. (англ.)
  2. ↑ Lapidoth, Amos (2009). A Foundation in Digital Communication. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19395-5. (англ.)
  3. ↑ а б Kun Il Park, Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3 (англ.)
  4. ↑ Taylor, G. I. (1 січня 1922). Diffusion by Continuous Movements (PDF). Proceedings of the London Mathematical Society (англ.). s2-20 (1): 196—212. doi:10.1112/plms/s2-20.1.196. ISSN 1460-244X. Архів оригіналу (PDF) за 21 листопада 2021. Процитовано 21 листопада 2021. (англ.)

 

Література

Джерело: стаття у Вікіпедії та історія редагувань (автори).