YaChudo

T-критерій Стьюдента

Переглядів: 0. Оновлено 26.10.2026.

t-критерій Стьюдента/Ст'юдента — загальна назва для класу методів статистичної перевірки гіпотез (статистичних критеріїв), заснованих на порівнянні з розподілом Стьюдента. Найчастіші випадки застосування t-критерію пов'язані з перевіркою рівності середніх значень у двох вибірках[1].

Історія

Цей критерій розробив був Вільям Ґоссет для оцінки якості пива в компанії Гіннес. У зв'язку із зобов'язаннями перед компанією не розголошувати комерційної таємниці (якою керівництво Гіннесу вважало таке використання статистичного апарату в своїй роботі), стаття Ґоссета вийшла в 1908 році в журналі «Біометрика» під псевдонімом «Student» (Студент).[2]

Вимоги до даних

Для застосування названого критерію потрібно аби початкові дані мали нормальний розподіл. У разі застосування двовибіркового критерію для незалежних вибірок також потрібно дотримуватися умови рівности дисперсій. Існують, проте, альтернативи критерію Стьюдента для ситуації з нерівними дисперсіями.

Двовибірковий t-критерій для незалежних вибірок

У разі якщо розміри вибірок відрізняються мало, застосовують спрощену формулу наближених розрахунків:

t = | M 1 − M 2 | σ 1 2 N 1 + σ 2 2 N 2 {\displaystyle t={\frac {|M_{1}-M_{2}|}{\sqrt {{\frac {\sigma _{1}^{2}}{N_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{N_{2}}}}}}}

Коли розміри вибірок відрізняються значно, застосовується складніша і точніша формула:

t = | M 1 − M 2 | ( N 1 − 1 ) σ 1 2 + ( N 2 − 1 ) σ 2 2 N 1 + N 2 − 2 ( 1 N 1 + 1 N 2 ) {\displaystyle t={\frac {|M_{1}-M_{2}|}{\sqrt {{\frac {(N_{1}-1)\sigma _{1}^{2}+(N_{2}-1)\sigma _{2}^{2}}{N_{1}+N_{2}-2}}({\frac {1}{N_{1}}}+{\frac {1}{N_{2}}})}}}}

Де M 1 , M 2 {\displaystyle M_{1},M_{2}}  — середнє арифметичне, σ 1 , σ 2 {\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}  — стандартне відхилення, а N 1 , N 2 {\displaystyle N_{1},N_{2}}  — розміри вибірок.

Кількість ступенів свободи розраховують як

d f = N 1 + N 2 − 2 {\displaystyle \,df=N_{1}+N_{2}-2}

Двовибірковий t-критерій для залежних вибірок

Для обчислення емпіричного значення t-критерію в ситуації перевірки гіпотези про відмінності між двома залежними вибірками (наприклад, двома пробами одного і того ж тесту з часовим інтервалом) застосовують таку формулу:

t = | M d | σ d / N {\displaystyle t={\frac {|M_{d}|}{\sigma _{d}/{\sqrt {N}}}}}

де M d {\displaystyle M_{d}}  — середня різниця значень, а σ d {\displaystyle \sigma _{d}}  — стандартне відхилення різниць.

Кількість ступенів свободи розраховують як

d f = N − 1 {\displaystyle \,df=N-1}

Одновибірковий t-критерій

Застосовується для перевірки гіпотези про відмінність середнього значення M x {\displaystyle \,M_{x}} від деякого відомого значення A {\displaystyle \,A} :

t = | M x − A | σ / N {\displaystyle t={\frac {|M_{x}-A|}{\sigma /{\sqrt {N}}}}}

Кількість ступенів свободи розраховують як

d f = N − 1 {\displaystyle \,df=N-1}

Непараметричні аналоги

Аналогом двостороннього критерію для незалежних вибірок є U-критерій Манна-Уітні. Для ситуації із залежними вибірками аналогами є критерій знаків і T-критерій Вілкоксона.

Див. також

Посилання

  1. ↑ Ромакін В. В. Комп'ютерний аналіз даних — 6.2.1. Застосування критерію Стьюдента для порівняння середніх[недоступне посилання з червня 2019]
  2. ↑ Mankiewicz, Richard (2004). The Story of Mathematics (вид. Paperback). Princeton, NJ: Princeton University Press. с. 158. ISBN 9780691120461. Архів оригіналу за 11 травня 2017. Процитовано 13 листопада 2018.

Інтернет посилання

Джерело: стаття у Вікіпедії та історія редагувань (автори).