G2-многовид

${\displaystyle G_2}$-многовид — семивимірний ріманів многовид ${\displaystyle (M,g)}$, група голономії якого міститься у компактній винятковій простій групі Лі ${\displaystyle G_2}$.^[1] Такі многовиди є Річчі-плоскими, орієнтовними та допускають спінорну структуру.^[2]

Еквівалентно ${\displaystyle G_2}$-многовид можна описати за допомогою спеціальної диференціальної 3-форми ${\displaystyle \phi }$. На орієнтованому семивимірному многовиді така форма визначає ${\displaystyle G_2}$-структуру, а разом із нею — ріманову метрику ${\displaystyle g}$ та орієнтацію.^[1]

Структура називається безкрученною, якщо

${\displaystyle d\phi =0,d\ast \phi =0,}$

де ${\displaystyle \ast }$ — оператор Годжа для метрики, визначеної формою ${\displaystyle \phi }$. Ці умови еквівалентні паралельності форми,

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\phi =0,}$

а отже й умові ${\displaystyle \mathrm{Hol}(g)\subseteq G_2}$.^[3]

Групу ${\displaystyle G_2}$ можна також характеризувати як групу автоморфізмів октоніонів. Цим пояснюється тісний зв'язок ${\displaystyle G_2}$-геометрії із семивимірним аналогом векторного добутку.^[2]

${\displaystyle G_2}$ входить до списку можливих спеціальних груп голономії незвідних ріманових многовидів. Тривалий час не було відомо, чи існують метрики, голономія яких справді дорівнює ${\displaystyle G_2}$. 1987 року Роберт Браянт довів існування таких метрик і побудував локальні приклади.^[2]

1989 року Браянт і Саймон Саламон побудували перші повні некомпактні метрики з голономією ${\displaystyle G_2}$, зокрема на ${\displaystyle S^3\times {ℝ}^4}$ та на розшаруваннях над чотиривимірними многовидами.^[4]

Перші компактні приклади побудував Домінік Джойс у 1996 році, використавши розв'язання особливостей орбіфолдів, отриманих як фактори семивимірного тора.^[3][5] Іншу важливу конструкцію компактних ${\displaystyle G_2}$-многовидів запропонував Олексій Ковальов: його метод скрученої зв'язної суми (англ. twisted connected sum) склеює відповідні асимптотично циліндричні многовиди Калабі — Яу.^[6]

${\displaystyle G_2}$-многовиди мають значення в М-теорії. Компактифікація одинадцятивимірної М-теорії на многовиді з голономією ${\displaystyle G_2}$ дає чотиривимірну теорію з мінімальною суперсиметрією. Особливості таких многовидів відіграють важливу роль, зокрема, в отриманні хіральних ферміонів у чотиривимірній ефективній теорії.^[7]

• Многовид Калабі — Яу
• Октоніони