YaChudo

Розподіл Фішера

Переглядів: 0. Оновлено 29.10.2026.

Розподіл Фішера
Функція розподілу ймовірностей
Параметри d 1 > 0 ,   d 2 > 0 {\displaystyle d_{1}>0,\ d_{2}>0} ступені свободи
Носій функції x ∈ [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle x\in [0,+\infty )\!}
Розподіл імовірностей ( d 1 x ) d 1 d 2 d 2 ( d 1 x + d 2 ) d 1 + d 2 x B ( d 1 2 , d 2 2 ) {\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\!}
Функція розподілу ймовірностей (cdf) I d 1 x d 1 x + d 2 ( d 1 / 2 , d 2 / 2 ) {\displaystyle I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)\!}
Середнє d 2 d 2 − 2 {\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!} для d 2 > 2 {\displaystyle d_{2}>2}
Мода d 1 − 2 d 1 d 2 d 2 + 2 {\displaystyle {\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}\!} для d 1 > 2 {\displaystyle d_{1}>2}
Дисперсія 2 d 2 2 ( d 1 + d 2 − 2 ) d 1 ( d 2 − 2 ) 2 ( d 2 − 4 ) {\displaystyle {\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!} для d 2 > 4 {\displaystyle d_{2}>4}
Коефіцієнт асиметрії ( 2 d 1 + d 2 − 2 ) 8 ( d 2 − 4 ) ( d 2 − 6 ) d 1 ( d 1 + d 2 − 2 ) {\displaystyle {\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}\!}
для d 2 > 6 {\displaystyle d_{2}>6}
Коефіцієнт ексцесудив. текст
Твірна функція моментів (mgf)не існує, raw moments defined elsewhere[1][2][3][4]
Характеристична функціядив. текст

Розподіл Фішера або F-розподіл у теорії імовірностей — двопараметричне сімейство абсолютно неперервних розподілів. F-розподіл часто зустрічається як розподіл тестової статистики коли нульова гіпотеза вірна, особливо в тесті відношення правдоподібності, найважливіший випадок аналіз дисперсії (див. F-тест).

Визначення

Нехай Y 1 , Y 2 {\displaystyle Y_{1},Y_{2}}  — дві незалежні випадкові величини, що мають розподіл хі-квадрат: Y i ∼ χ 2 ( d i ) {\displaystyle Y_{i}\sim \chi ^{2}(d_{i})} , де d i ∈ N , i = 1 , 2 {\displaystyle d_{i}\in \mathbb {N} ,\;i=1,2} . Тоді розподіл випадкової величини

F = Y 1 / d 1 Y 2 / d 2 {\displaystyle F={\frac {Y_{1}/d_{1}}{Y_{2}/d_{2}}}} ,

називається розподілом Фішера зі ступенями свободи d 1 {\displaystyle d_{1}} і d 2 {\displaystyle d_{2}} . Пишуть F ∼ F ( d 1 , d 2 ) {\displaystyle F\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})} .

Щільність випадкової величини з F-розподілом з параметрами d 1 , d 2   ( F ( d 1 , d 2 ) ) {\displaystyle d_{1},d_{2}\ (F(d_{1},d_{2}))} задається формулою:

f ( x ) = ( d 1 x ) d 1 d 2 d 2 ( d 1 x + d 2 ) d 1 + d 2 x B ( d 1 2 , d 2 2 ) = 1 B ( d 1 2 , d 2 2 ) ( d 1 d 2 ) d 1 2 x d 1 2 − 1 ( 1 + d 1 d 2 x ) − d 1 + d 2 2 {\displaystyle f(x)={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}={\frac {1}{\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}x^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}\!}

для дійсного числа x ≥ 0 {\displaystyle x\geq 0} , тут d1 та d2 цілі додатні числа, а B — Бета-функція.

Моменти

Математичне очікування і дисперсія випадкової величини, що має розподіл Фішера, мають вигляд:

M [ F ] = d 2 d 2 − 2 {\displaystyle \mathbb {M} [F]={\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}} , якщо d 2 > 2 {\displaystyle d_{2}>2} ,
D [ F ] = 2 d 2 2 ( d 1 + d 2 − 2 ) d 1 ( d 2 − 2 ) 2 ( d 2 − 4 ) {\displaystyle \mathrm {D} [F]={\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!} , якщо d 2 > 4 {\displaystyle d_{2}>4} .

Властивості розподілу Фішера

  • Якщо F ∼ F ( d 1 , d 2 ) {\displaystyle F\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})} , то
1 F ∼ F ( d 2 , d 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{F}}\sim \mathrm {F} (d_{2},d_{1})} .
  • Розподіл Фішера збігається до одиниці: якщо F d 1 , d 2 ∼ F ( d 1 , d 2 ) {\displaystyle F_{d_{1},d_{2}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})} , то
F d 1 , d 2 → δ ( x − 1 ) {\displaystyle F_{d_{1},d_{2}}\to \delta (x-1)} по розподілі при d 1 , d 2 → ∞ {\displaystyle d_{1},d_{2}\to \infty } ,

де δ ( x − 1 ) {\displaystyle \delta (x-1)}  — дельта-функція в одиниці, тобто розподіл випадкової величини-константи X ≡ 1 {\displaystyle X\equiv 1} .

Зв'язок з іншими розподілами

  • Якщо F d 1 , d 2 ∼ F ( d 1 , d 2 ) {\displaystyle F_{d_{1},d_{2}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})} , то випадкові величини d 1 F d 1 , d 2 {\displaystyle d_{1}F_{d_{1},d_{2}}} збігаються по розподілу до χ 2 ( d 1 ) {\displaystyle \chi ^{2}(d_{1})} при d 2 → ∞ {\displaystyle d_{2}\to \infty } .

Див. також

Джерела

  1. ↑ Johnson, Norman Lloyd; Samuel Kotz; N. Balakrishnan (1995). Continuous Univariate Distributions, Volume 2 (Second Edition, Section 27). Wiley. ISBN 0-471-58494-0.
  2. ↑ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, ред. (1983). Chapter 26. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Т. 55 (вид. 9th). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. с. 946. ISBN 0-486-61272-4. LCCN 64-60036. MR 0167642. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 6512253-{{{3}}}. {{cite book}}: Зовнішнє посилання в |title= (довідка)
  3. ↑ NIST (2006). Engineering Statistics Handbook – F Distribution
  4. ↑ Mood, Alexander; Franklin A. Graybill; Duane C. Boes (1974). Introduction to the Theory of Statistics (вид. Third). McGraw-Hill. с. 246–249. ISBN 0-07-042864-6.
  • Глосарій термінів з хімії // Й.Опейда, О.Швайка. Ін-т фізико-органічної хімії та вуглехімії ім. Л.М.Литвиненка НАН України, Донецький національний університет — Донецьк: «Вебер», 2008. — 758 с. — ISBN 978-966-335-206-0

Джерело: стаття у Вікіпедії та історія редагувань (автори).