Бет (літера)

Бет, івр. בֵּי"ת — друга літера гебрайської абетки. Пишеться ב. Має числове значення (гематрію) 2.

В теорії множин символ ${\displaystyle \beth _{1}}$ (читається «бет один») позначає потужність множини, яка рівна ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$. Відповідно, існують символи ${\displaystyle \beth _{2}}$, ${\displaystyle \beth _{3}}$ и так далі. Більш докладно — статті про потужність множин.

Припускаючи, що аксіома вибору нескінченної потужності лінійно впорядкована, то немає двох потужностей які не можуть бути порівняні. Таким чином, оскільки, за визначенням, не є нескінченними потужності між ${\displaystyle \aleph _{0}}$ і ${\displaystyle \aleph _{1}}$ випливає, що ${\displaystyle \beth _{1}\geq \aleph _{1}.}$ Повторюючи це міркування (див. трансфінітних індукції) отримуємо: ${\displaystyle \beth _{\alpha }\geq \aleph _{\alpha }}$ для всіх ординалів ${\displaystyle \alpha }$. Континуум-гіпотеза еквівалентна ${\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{1}.}$

Узагальнення континуум-гіпотези стверджує, що послідовність чисел Бет визначена так само, як послідовність Алеф номерів, тобто ${\displaystyle \beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }}$ для всіх порядкових чисел ${\displaystyle \alpha }$.

Для визначення числа Бет, припустимо

${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0}}$

є потужність будь-якої зліченної нескінченної множини (для прикладу візьмемо множину ${\displaystyle \mathbb {N} }$ з натуральних чисел). Позначимо P(A) булеан або множину всіх підмножин множини A. Тоді визначимо

${\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},}$

яка є потужністю булеану А, якщо ${\displaystyle \beth _{\alpha }}$ є потужністю А. Маючи це означення

${\displaystyle \beth _{0},\ \beth _{1},\ \beth _{2},\ \beth _{3},\ \dots }$

є відповідно потужностями

${\displaystyle \mathbb {N} ,\ P(\mathbb {N} ),\ P(P(\mathbb {N} )),\ P(P(P(\mathbb {N} ))),\ \dots .}$.

Тоді друге число Бет ${\displaystyle \beth _{1}}$ дорівнює ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$, потужності континууму, і третє число бет ${\displaystyle \beth _{2}}$ — потужність булеану континууму.

Тоді за Теоремою Кантора кожен набір в попередній послідовності має потужність строго більше, ніж попередній. Для нескінченних порядкових чисел λ відповідне число Бет визначається як верхня межа чисел Бет для всіх порядкових чисел строго менших за λ:

${\displaystyle \beth _{\lambda }=\sup\{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \}.}$

Так як за означенням це є ${\displaystyle \aleph _{0}}$ або алеф нуль, тоді множини з потужністю ${\displaystyle \beth _{0}}$ включають:

• натуральні числа N
• раціональні числа Q
• алгебраїчні числа
• множину скінченних множин цілих чисел

Множини з потужностями ${\displaystyle \beth _{1}}$ включають в себе:

• трансцендентні числа
• ірраціональні числа
• дійсні числа R
• комплексні числа C
• евклідовий простір Rⁿ
• множину всіх підмножин множини натуральних чисел
• множину послідовностей цілих чисел (тобто всі функції N → Z, часто позначаються Z^N)
• множину послідовностей дійсних чисел, R^N
• множину всіх неперервних функцій з R на R
• множину скінченних підмножин дійсних чисел

${\displaystyle \beth _{2}}$ також називають 2^c. Множини з потужністю ${\displaystyle \beth _{2}}$ включають в себе:

• множину всіх функцій з R на R (R^R)
• множина всіх функцій з R^m на Rⁿ