Числа алеф

В теорії множин (дисципліна математики), числа Алеф — множина чисел, що використовуються для представлення потужності (розміру) нескінченних множин. Названі за символом, що використовується для їх позначення – літери івриту алеф (${\displaystyle \aleph }$).

Потужність множини натуральних чисел – ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (читається «алеф-нуль»), наступне, більше, кардинальне число - ${\displaystyle \aleph _{1}}$, потім - ${\displaystyle \aleph _{2}}$ і так далі. Продовжуючи таким чином, можна визначити кардинальне число ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ для кожного порядкового числа α.

Концепція числа сходить до Георга Кантора, який визначив поняття потужності і виявив, що нескінченні множини можуть мати різні потужності.

Числа алеф відрізняються від нескінченності (∞), що часто зустрічається у алгебрі та математичному аналізі. Алеф визначає розмірність нескінченних множин; нескінченність, з іншої сторони, зазвичай, визначається як крайня границя числової прямої (використовується до функцій чи послідовностей, що «розбігаються до нескінченності» або «нескінченно ростуть»), або як крайня точка розширеної числової прямої.

${\displaystyle \aleph _{0}}$ є потужністю усіх натуральних чисел, та є першим нескінченим кардиналом. Множина має потужність ${\displaystyle \aleph _{0}}$ тільки якщо це злічена нескінченна множина, яку можна поставити у пряму бієкцію, тобто «один-до-одного», з множиною натуральних чисел. До таких множин відносяться множина простих чисел, множина усіх раціональних чисел, множина алгебраїчних чисел, множина бінарних рядків усіх скінченних довжин і множина усіх скінченних підмножин будь-якої зліченної нескінченної множини.

Потужність зліченної множини ${\displaystyle \aleph _{0}}$ є найменшим трансфінітним кардинальним числом. Це означає, що будь-яка нескінченна множина A має принаймні одну зліченну частину (тобто зліченну підмножину).

Для будь-якого скінченного числа m ≥ 1 виконуються рівності: m·${\displaystyle \aleph _{0}=\aleph _{0}}$ та ${\displaystyle \aleph _{0}^{m}=\aleph _{0}}$.

${\displaystyle \aleph _{1}}$ є потужністю множини всіх злічених порядкових чисел, яка називається ω₁, або іноді Ω. Ця ω₁ сама по собі є порядковим номером, більшим, за всі зліченні множини, тобто ця множина є незліченною. Таким чином ${\displaystyle \aleph _{1}}$ відрізняється від ${\displaystyle \aleph _{0}}$. З визначення випливає, що не існує кардинального числа між ${\displaystyle \aleph _{0}}$ та ${\displaystyle \aleph _{1}}$.

Для будь-якого скінченного числа m ≥ 1 виконуються рівності: m·${\displaystyle \aleph _{1}=\aleph _{1}}$·${\displaystyle \aleph _{1}=\aleph _{1}^{m}=\aleph _{1}}$^${\displaystyle \aleph _{0}=\aleph _{1}}$, де m≥1 – ціле.

• Кардинальне число
• Потужність множини