YaChudo

Хвилі Лемба

Переглядів: 0. Оновлено 08.11.2026.

Хвилі Лемба (англ. Lamb waves) — особливий тип хвиль, що поширюються в пружних хвилеводах. Хвилі названі ім'ям першого вченого Горація Лемба (англ. Horace Lamb), що знайшов дисперсійне співвідношення для цих хвиль і опублікував його в 1917 році. Такі хвилі є двовимірними збуреннями в нескінченному пружному шарі (область, що визначається відносно декартових координат нерівностями − h ≤ z ≤ h , − ∞ ≤ x ≤ ∞ , − ∞ ≤ y ≤ ∞ {\displaystyle -h\leq z\leq h,-\infty \leq x\leq \infty ,-\infty \leq y\leq \infty } ). Для гармонічних хвиль з часовою залежністю для кінематичних і силових характеристик у вигляді e − i ω t {\displaystyle e^{-i\omega t}} вирази для переміщень у напрямках координат x , z {\displaystyle x,z} мають вигляд:

u x = A x f x ( ω , z ) e i ( ω t − k x ) ( 1 ) {\displaystyle u_{x}=A_{x}f_{x}(\omega ,z)e^{i(\omega t-kx)}\quad \quad (1)}
u z = A z f z ( ω , z ) e i ( ω t − k x ) ( 2 ) {\displaystyle u_{z}=A_{z}f_{z}(\omega ,z)e^{i(\omega t-kx)}\quad \quad (2)}

При вивченні властивостей хвиль Лемба розрізняють два типи хвильових рухів, що визначаються типами симетрії функції відносно товщинної координати z {\displaystyle z} у виразах (1) та (2). У випадку f x ( ω z ) = f x ( − ω z ) {\displaystyle f_{x}(\omega z)=f_{x}(-\omega z)} говорять про симетричні хвилі Лемба. Характер руху частинок середовища в таких хвилях показано на верхній частині рисунка. Характер руху частинок в антисиметричному випадку f x ( ω z ) = − f x ( − ω z ) {\displaystyle f_{x}(\omega z)=-f_{x}(-\omega z)} показано на лижній частині рисунка. Уже в записі виразів для складових вектора переміщень (1) і (2) видно принципову різницю між хвилями в акустичних (заповнених рідиною чи газом) і в твердотільних пружних хвилеводах. У даному випадку функції товщинної координати z {\displaystyle z} залежать від частоти, що не спостерігається в акустичних хвилеводах[1].

Характер руху частинок пружного щару в симетричних та антисиметричних хвилях Лемба. Стрілка вказує напрям осі o x {\displaystyle ox} .

Дослідження властивостей хвиль у хвилеводах починається з встановлення зв'язку між хвильовим числом k {\displaystyle k} та частотою ω {\displaystyle \omega } . Такі співвідношення визначають залежність фазової швидкості хвиль від частоти і називаються дисперсійними рівняннями Спочатку із рівнянь руху частинок пружного тіла знаходять вирази для функцій A x f x ( ω z ) {\displaystyle A_{x}f_{x}(\omega z)} та A z f z ( ω z ) {\displaystyle A_{z}f_{z}(\omega z)} а потім задовольняють умовам відсутності механічних напружень на поверхнях z = ± h {\displaystyle z=\pm h} . Детально цей процес висвітлено в[2] В результаті одержано два дисперсійні рівняння, відповідно для симетричних та антисиметричних хвиль

tan ⁡ ( β d / 2 ) tan ⁡ ( α d / 2 ) = − 4 α β k 2 ( k 2 − β 2 ) 2   ( 3 ) {\displaystyle {\frac {\tan(\beta d/2)}{\tan(\alpha d/2)}}=-{\frac {4\alpha \beta k^{2}}{(k^{2}-\beta ^{2})^{2}}}\ \quad \quad \quad \quad (3)}
tan ⁡ ( β d / 2 ) tan ⁡ ( α d / 2 ) = − ( k 2 − β 2 ) 2 4 α β k 2   ( 4 ) {\displaystyle {\frac {\tan(\beta d/2)}{\tan(\alpha d/2)}}=-{\frac {(k^{2}-\beta ^{2})^{2}}{4\alpha \beta k^{2}}}\ \quad \quad \quad \quad (4)}

тут

α 2 = ω 2 c l 2 − k 2 and β 2 = ω 2 c t 2 − k 2 . {\displaystyle \alpha ^{2}={\frac {\omega ^{2}}{c_{l}^{2}}}-k^{2}\quad \quad {\text{and}}\quad \quad \beta ^{2}={\frac {\omega ^{2}}{c_{t}^{2}}}-k^{2}.}

У цих виразах для α {\displaystyle \alpha } та β {\displaystyle \beta } використано позначення c l {\displaystyle c_{l}} та c t {\displaystyle c_{t}} , відповідно, для швидкості поздовжніх та поперечних хвиль в пружному тілі. Існування в пружному тілі двох типів хвиль суттєво ускладнює картину хвильових рухів у пружних хвилеводах. Фізичною причиною таких ускладнень є та обставина, що при відбитті при похилому падінні на вільну поверхню поздовжня хвиля віддає частину своєї енергії відбитій поперечній хвилі. Такий же процес спостерігається і при падінні на вільну границю поперечної хвилі, частину енергії якої забирає відбита поздовжня хвиля.

Попри досить простий вигляд дисперсійних рівнянь (3) і (4) кількісні оцінки характеристик хвиль Лемба та якісний аналіз залежності їхніх властивостей від частоти були проведені лише в 50-ті роки XX століття в роботах Р. Д. Міндліна (R. D. Mindlin). Основні результати досліджень відтворено в першому томі серії книг, що присвячені проблемам фізичної акустики[3]. Було встановлено, що перші симетрична та антисиметрична хвилі Лемба поширюються при будь-якому значенні частоти. Зі зростанням частоти їхні фазові швидкості прямують до значення фазової швидкості хвилі Релея. Для інших хвиль більш високого порядку граничним значенням фазової швидкості є швидкість поперечних хвиль.

Примітки

  1. ↑ Мелешко В. В., Маципурв В. Т., Улітко І. А. Теорія хвилеводів. — К.: ВПЦ «Київський університет», 2013. — 413 с. — ISBN 978-966-439-627-6
  2. ↑ Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах.—Киев: Наукова думка,1981.—284 с.
  3. ↑ У. Мезон (Ред.)Физическая акустика.Т.1.Методы и приборы ультразвуковых исследований. Часть А.—Москва, Мир,1966. —592 с.

Джерела

Джерело: стаття у Вікіпедії та історія редагувань (автори).