Умови Інади

Умови Інади (англ. Inada conditions) в макроекономіці — припущення про характер виробничої функції, що гарантують стабільність економічного зростання в неокласичній моделі (англ. balanced growth path, BGP). У нинішньому вигляді введені Хірофумі Удзавою^[1], названі на честь іншого японського економіста, Кеніті Інада^[2].

Вважається, що задано неперервно диференційовну виробничу функцію ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$, де ${\displaystyle n}$ — кількість факторів виробництва. Наприклад. для функції Кобба — Дугласа їх традиційно два: капітал ${\displaystyle K}$ і праця ${\displaystyle L}$. Тоді до виробничої функції можна поставити такі вимоги:

1. Значення функції в нулі дорівнює нулю ${\displaystyle F(\mathbf {0} )=0}$. При цьому вимагається, щоб функція дорівнювала нулю навіть якщо тільки один із факторів відсутній.
2. Функція є монотонно зростальною за кожним із факторів: ${\displaystyle F'_{X_{i}}(\mathbf {X} )>0,\,\forall i}$.
3. Функція є строго увігнутою, тобто друга похідна функції від'ємна: ${\displaystyle \partial ^{2}f(\mathbf {X} )/\partial X_{i}^{2}<0,\,\forall x_{i}}$.
4. Границя першої похідної ${\displaystyle F(\mathbf {X} )}$ дорівнює нескінченності при ${\displaystyle X_{i}}$, що прямує до 0: ${\displaystyle \lim _{X_{i}\to 0}\partial F(\mathbf {X} )/\partial X_{i}=+\infty }$;
5. границя першої похідної ${\displaystyle F(\mathbf {X} )}$ дорівнює 0 при ${\displaystyle X_{i}}$, що прямує до нескінченності: ${\displaystyle \lim _{X_{i}\to +\infty }\partial F(\mathbf {X} )/\partial X_{i}=0}$.

Умовами Інади називають як усі сформульовані вище вимоги^[3], так і останню групу вимог, що накладають обмеження на поведінку похідної^[4].

Умови Інади мають такий зміст. Рівність функції нулю означає, що для виробництва потрібні ресурси і всі фактори виробництва обов'язково мають бути присутніми. Зростання означає, що більше факторів виробництва приносить більший випуск. Увігнутість є наслідком спадного граничного продукту. Вимоги до поведінки похідної означають, що у початковий момент кожна додаткова одиниця ресурсів дає економіці дуже багато випуску, але з часом, через спадання віддачі, зростати стає дедалі складніше. Кожна додаткова одиниця приносить дедалі менше.

З математичної точки зору, умови Інади гарантують існування збалансованої траєкторії зростання економіки в моделі (англ. balanced growth path, BGP).

З класу функцій CES усім переліченим умовам задовольняє лише функція Кобба — Дугласа. Легко перевірити виконання цих умов для функції ${\displaystyle Y=F(K,L)=K^{\alpha }L^{1-\alpha }}$ (${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$)^[5][6].

У виробництві відсутні капітал або праця, тоді^[7]:

${\displaystyle F(0,L)=0}$, ${\displaystyle F(K,0)=0}$ .

Функція є монотонною за обома факторами виробництва:

${\displaystyle F'_{K}=\alpha K^{\alpha -1}L^{1-\alpha }>0}$

${\displaystyle F'_{L}=(1-\alpha )K^{\alpha }L^{-\alpha }}$.

Зменшена гранична віддача капіталу та праці:

${\displaystyle F''_{K}=\alpha (\alpha -1)K^{\alpha -2}L^{1-\alpha }<0}$

${\displaystyle F''_{L}=-\alpha (1-\alpha )K^{\alpha }L^{-\alpha -1}<0}$.

Поведінка першої похідної в нулі:

${\displaystyle \lim _{K\to 0}F'_{K}=\alpha K^{\alpha -1}L^{1-\alpha }=\infty }$

${\displaystyle \lim _{L\to 0}F'_{L}=(1-\alpha )K^{\alpha }L^{-\alpha }=\infty }$.

Поведінка першої похідної на нескінченності:

${\displaystyle \lim _{K\to \infty }F'_{K}=\alpha K^{\alpha -1}L^{1-\alpha }=0}$

${\displaystyle \lim _{L\to \infty }F'_{L}=(1-\alpha )K^{\alpha }L^{-\alpha }=0}$.

• Барро Р.Дж., Сала-и-Мартин Х. Экономический рост. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. — С. 41. — ISBN 978-5-94774-790-4.
• Ромер Д. Высшая макроэкономика. — М. : Изд. дом ВШЭ, 2014. — С. 28-29. — ISBN 978-5-7568-0406-2.
• Gandolfo, Giancarlo. Economic Dynamics. — Third. — Berlin : Springer, 1996. — С. 176—178. — ISBN 3-540-60988-1.
• Uzawa, H. On a Two-Sector Model of Economic Growth II // The Review of Economic Studies : journal. — 1963. — Vol. 30, no. 2. — P. 105—118.
• Ken-Ichi Inada. On a Two-Sector Model of Economic Growth: Comments and a Generalization // The Review of Economic Studies : journal. — 1963. — Vol. 30, no. 2. — P. 119—127.
• de la Fonteijne M. R. Do Inada Conditions imply Cobb-Douglas Asymptotic Behavior or only a Elasticity of Substitution equal to one. — 2015.