Тест Левене

У статистиці, Тест Левене^[1] — це статистика, яку використовують для оцінювання рівності дисперсій декількох вибірок. Він перевіряє нульову гіпотезу про рівність дисперсій вибірок (гомогенність дисперсії, або гомоскедастичність). Якщо p-значення тесту Левене менше певного критичного значення (зазвичай 0,05 або 0,01), то наявну різницю дисперсій вважають статистично значущою. Тому нульову гіпотезу про рівність дисперсій всіх вибірок відкидають і роблять висновок, що їх дисперсії є різними.

До процедур, що вимагають припущення про гомогенність дисперсії, належать дисперсійний аналіз та t-критерій Стьюдента. Однією з переваг тесту Левене є те, що цей тест не вимагає нормального розподілу досліджуваних вибірок.

Тест часто використовується перед порівнянням математичних сподівань.

Тест Левене використовують для перевірки нульової гіпотези ${\displaystyle H_{0}}$ проти альтернативної гіпотези ${\displaystyle H_{1}}$^[2].

${\displaystyle H_{0}:\ \ \sigma _{1}=\sigma _{2}=\dots =\sigma _{k}\ \ \ vs\ \ \ H_{1}:\sigma _{i}\neq \sigma _{j}}$ принаймні для однієї пари ${\displaystyle (i,\ j)}$.

Тестова статистика визначена наступним чином:

${\displaystyle W={\frac {(N-k)}{(k-1)}}{\frac {\sum _{i=1}^{k}N_{i}(Z_{i\cdot }-Z_{\cdot \cdot })^{2}}{\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{N_{i}}(Z_{ij}-Z_{i\cdot })^{2}}},}$

де

• ${\displaystyle W}$ — значення Статистики,
• ${\displaystyle k}$ — кількість різних груп до яких належать вибірки,
• ${\displaystyle N}$ — загальна кількість спостережень,
• ${\displaystyle N_{i}}$ — кількість спостережень в ${\displaystyle i}$-й групі,
• ${\displaystyle Y_{ij}}$ — значення ${\displaystyle j}$-го спостереження ${\displaystyle i}$-ї групи,
• ${\displaystyle Z_{ij}=\left\{{\begin{matrix}|Y_{ij}-{\bar {Y}}_{i\cdot }|\\|Y_{ij}-{\tilde {Y}}_{i\cdot }|\end{matrix}}\right.}$

Тут ${\displaystyle {\bar {Y}}_{i\cdot }}$ — математичне сподівання i-ї групи, а ${\displaystyle {\tilde {Y}}_{i\cdot }}$ — медіана i-ї групи. (Обидва означення використовуються, хоча друге означення насправді Тест Брауна-Форсі)

• ${\displaystyle Z_{\cdot \cdot }={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{N_{i}}Z_{ij}}$ математичне сподівання всіх ${\displaystyle Z_{ij}}$,
• ${\displaystyle Z_{i\cdot }={\frac {1}{N_{i}}}\sum _{j=1}^{N_{i}}Z_{ij}}$ математичне сподівання ${\displaystyle Z_{ij}}$ для групи з номером ${\displaystyle i}$.

Значущість статистики ${\displaystyle W}$ тестують використовуючи ${\displaystyle F(\alpha ,k-1,N-k)}$ (квантиль рівня ${\displaystyle \alpha }$ розподілу Фішера), де ${\displaystyle F}$ — квантиль розподілу фішера, з ${\displaystyle k-1}$ і ${\displaystyle N-k}$ ступенями свободи, ${\displaystyle \alpha }$ — обраний рівень надійності тесту (зазвичай 0.05 чи 0.01).