Теорія порядку
| Теорія порядку | |
|---|---|
| |
| Досліджує | частковий порядок і частково впорядкована множина  |
Тео́рія поря́дку (англ. Order theory) — це галузь математики, яка досліджує інтуїтивне поняття порядку із застосуванням бінарних відношень. Вона забезпечує формальну систему для опису таких тверджень, як «це є меншим за те» або «це передує тому».
Основні означення
Види впорядкування
Використовуючи властивості бінарних відношень описують різні типи впорядкування.
Має поєднання
|
Має зустріч
|
||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Еквівалентність |  |
✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | |
✗ | ✗ |
| Передпорядок (Квазіпорядок) | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | |
✗ | ✗ |
| Частковий порядок | ✗ | |
✗ | ✗ | ✗ | ✗ | |
✗ | ✗ |
| Повний передпорядок | ✗ | ✗ | |
✗ | ✗ | ✗ | |
✗ | ✗ |
| Лінійний порядок | ✗ | |
|
✗ | ✗ | ✗ | |
✗ | ✗ |
| Цілковий передпорядок | ✗ | ✗ | |
|
✗ | ✗ | |
✗ | ✗ |
| Цілковий квазіпорядок | ✗ | ✗ | ✗ | |
✗ | ✗ | |
✗ | ✗ |
| Цілковий порядок | ✗ | |
|
|
✗ | ✗ | |
✗ | ✗ |
| Ґратка | ✗ | |
✗ | ✗ | |
|
|
✗ | ✗ |
| Верхня напівґратка | ✗ | |
✗ | ✗ | |
✗ | |
✗ | ✗ |
| Нижня напівґратка | ✗ | |
✗ | ✗ | ✗ | |
|
✗ | ✗ |
| Строгий частковий порядок | ✗ | |
✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | |
|
| Строгий слабкий порядок | ✗ | |
✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | |
|
| Строгий лінійний порядок | ✗ | |
|
✗ | ✗ | ✗ | ✗ | |
|
| Визначення, для всіх і : |
|||||||||
|
| |||||||||
Особливі елементи
- Найбільший та найменший елемент
- Максимальні та мінімальні елементи
- Верхня та нижня межа
- Інфімум та супремум
Операції
Особливі підмножини
- Ланцюг, антиланцюг
- Верхня множина, нижня множина
- Спрямована вверх множина, спрямована вниз множина
- Ідеал, фільтр
- Сильний антиланцюг, загальний фільтр
Висота і ширина
- Шириною посета називається величина максимального антиланцюга. За теоремою Ділуорса ширина рівна мінімальній кількості ланцюгів, на які можна розбити посет.
- Висотою посета називається величина максимального ланцюга. За теоремою Мирського висота рівна мінімальній кількості антиланцюгів, на які можна розбити посет.
Див. також
Джерела
- Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий ; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)
- Stanley N. Burris, H. P. Sankappanavar. A Course in Universal Algebra. — Berlin, New York : Springer-Verlag, 1981.(англ.)
- Davey, B. A.; Priestley, H. A. (2002). Introduction to Lattices and Order (вид. 2nd). Cambridge University Press. ISBN 0-521-78451-4. (англ.)
- Gierz, G.; Hofmann, K. H.; Keimel, K.; Mislove, M.; Scott, D. S. (2003). Continuous Lattices and Domains. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Т. 93. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-80338-0. (англ.)
Посилання
- Порядки записом ProvenMath [Архівовано 11 жовтня 2006 у Wayback Machine.]: частковий порядок, лінійний порядок, цілком-впорядкованість, початкова ланка; формальні визначення та доведення в межах аксіом теорії множин. (англ.)
- Nagel, Felix (2013). Set Theory and Topology. An Introduction to the Foundations of Analysis [Архівовано 25 січня 2021 у Wayback Machine.] (англ.)
|
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |
Джерело: стаття у Вікіпедії та історія редагувань (автори).