Теорія балки Тимошенка

Теорія балки Тимошенка (англ. Timoshenko beam theory) — теорія деформації згину, що була розроблена вченим та інженером українського походження Степаном Тимошенком на початку 20-го століття.^[1][2] Ця модель враховує деформацію зсуву та обертальні інерційні ефекти, що робить її придатною для опису поведінки коротких балок, сендвіч-композитних балок або балок, що знаходяться під дією високочастотних коливань, коли довжина хвилі наближується до товщини самої балки.

Результатом застосування цієї теорії є рівняння 4-го порядку, але на відміну від звичайної моделі — тобто теорії балки Ейлера-Бернуллі — в рівнянні також присутня просторова похідна другого порядку. Враховуючи нові деформаційні ефекти, наведені вище, балка Тимошенка має меншу жорсткість, але більший прогин під статичним навантаженням, а також нижчі власні частоти для заданого набору граничних умов. Останній ефект стає помітним при більш високих частотах, так як довжина хвилі стає коротшою, і таким чином відстань між протилежними силами зсуву зменшується.

Якщо модуль зсуву балки прямує до нескінченності, тобто балка стає повністю жорсткою проти деформації зсуву, а також якщо обертальні інерційні ефекти не враховуються, то теорія балки Тимошенка спрощується до звичайної теорії балки.

У статичній теорії балки Тимошенка без осьових ефектів, переміщення точки визначається так:

${\displaystyle u_{x}(x,y,z)=-z~\varphi (x)~;~~u_{y}(x,y,z)=0~;~~u_{z}(x,y)=w(x),}$

де ${\displaystyle (x,y,z)}$ координати точки, ${\displaystyle u_{x},u_{y},u_{z}}$ компоненти вектора переміщення у трьох вимірах, ${\displaystyle \varphi }$ кут обертання нормалі відносно центральної осі балки, ${\displaystyle w}$ переміщення центральної осі балки у напрямку ${\displaystyle z}$.

Основні рівняння включені у систему звичайних диференціальних рівнянь:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}\right)=q(x,t)\\&{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}=\varphi -{\frac {1}{\kappa AG}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}\right).\end{aligned}}}$

теорія Тимошенка для статики еквівалентна теорії Ейлера-Бернуллі, якщо останнім членом зазначеним вище можна знехтувати, а також якщо

${\displaystyle {\frac {EI}{\kappa L^{2}AG}}\ll 1,}$

де ${\displaystyle L}$ довжина балки.

Комбінування двох даних рівнянь для однорідної балки з постійним поперечним перерізом дає

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Згинальний момент ${\displaystyle M_{xx}}$ та сила зсуву ${\displaystyle Q_{x}}$ у балці пов'язані з переміщенням ${\displaystyle w}$ та обертанням ${\displaystyle \varphi }$. Цей зв'язок для лінійної пружної балки Тимошенка можна записати так:

${\displaystyle M_{xx}=-EI~{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\quad {\text{and}}\quad Q_{x}=\kappa ~AG~\left(-\varphi +{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\,.}$

Для розв'язання двох рівнянь, що описують деформацію балки Тимошенка, вони мають бути доповнені граничними умовами. Щоб задача була поставлена коректно, необхідно мати чотири граничні умови. Типові граничні умови бувають:

• Балки, що вільно спираються: Переміщення ${\displaystyle w}$ дорівнює нулю в двох точках опори. Згинальний момент ${\displaystyle M_{xx}}$ має бути вказаним, а обертання ${\displaystyle \varphi }$ та поперечна сила зсуву ${\displaystyle Q_{x}}$ не вказані.
• Консольні балки: Переміщення ${\displaystyle w}$ та обертання ${\displaystyle \varphi }$ дорівнюють нулю в точці закріплення балки. Якщо один із кінців балки вільний, то сила зсуву ${\displaystyle Q_{x}}$ та згинальний момент ${\displaystyle M_{xx}}$ мають бути вказані.

• Згинальний момент
• Деформація згину
• Деформація зсуву
• Теорія балки Ейлера-Бернуллі
• Теорія пластин