Теорія Редже

Теорія Редже (метод полюсів Редже, метод комплексних кутових моментів) — метод описання та дослідження розсіяння елементарних частинок в квантовій механіці та квантовій теорії поля, що ґрунтується на формальному аналітичному продовженні парціальних амплітуд з області фізичних значень моменту імпульсу ${\displaystyle M=\hbar \ell ,\ell =0,1,2,\ldots }$ в область комплексних значень ${\displaystyle \ell }$. Метод запровадив італійський фізик Туліо Редже при вивченні аналітичних властивостей квантовомеханічної амплітуди розсіяння.

Теорія Редже виникла при дослідженні потенціального розсіювання в квантовій механіці. Основна ідея полягала в тому, що квантові числа кутового моменту в загальному випадку можуть набувати комплексних значень, тоді парціальну амплітуду ${\displaystyle a_{\ell }(k)}$ інтерполюють до функції ${\displaystyle a(\ell ,k)}$, яка для цілих значень ${\displaystyle \ell }$ збігається з ${\displaystyle a_{\ell }(k)}$. Для певного типу потенціалів (наприклад, юкавського потенціалу) сингулярності ${\displaystyle a(\ell ,k)}$ виявляються^[1] простими полюсами (полюси Редже), що змінюють місце знаходження в комплексній площині кутового моменту зі зміною енергії. Їхнє розташування визначається зі співвідношення ${\displaystyle \ell =\alpha (k),}$ де ${\displaystyle \alpha (k)}$ — функція енергії, що називається траєкторією Редже (може бути представлена як функція кінематичних змінних Мандельштама, ${\displaystyle s,t,u}$). Кожній сім'ї резонансів, а також набору зв'язаних станів відповідає одна траєкторія Редже. Ідея Редже було успішно розвинуто в рамках фізики високих енергій^[2].

Зокрема, при певних не дуже великих ${\displaystyle t}$, де ${\displaystyle \alpha (t)}$ дійсна, цілочисельні значення ${\displaystyle \alpha (t)}$ відповідають стабільним зв'язаним станам. При великих ${\displaystyle t}$, що перевищують границю суцільного спектра (кінетична енергія частинки додатна), функція ${\displaystyle \alpha (t)}$ стає комплексною: ${\displaystyle \alpha (t)={\text{Re }}\alpha (t)+i{\text{Im }}\alpha (t)}$. Тоді дійсна частина продовжує визначати положення тепер вже резонансного рівня, а уявна частина пропорційна повній ширині рівня, тобто визначає час життя резонансу.

У теорії ${\displaystyle S}$-матриці немає рівняння Шредінгера, тож не можна отримати амплітуду розсіяння таким шляхом, як у квантовій механіці, звідки безпосередньо можна було б вивчати її аналітичні властивості. Отже, існування полюсів Редже насправді є припущенням, але це припущення дозволяє розв'язувати деякі проблеми теорії і, що найголовніше, підтверджується великою кількістю феноменологічних спостережень^[3].

Якщо застосовувати ідею Редже до теорії релятивістської ${\displaystyle S}$-матриці, можна показати, зробивши ряд припущень, що релятивістську парціальну амплітуду ${\displaystyle A_{\ell }(t)}$ можна аналітично продовжити до комплексних значень ${\displaystyle \ell }$ і при тому єдиним способом. Отримана функція ${\displaystyle A(\ell ,t)}$ має прості полюси (першопочаткове припущення) при ${\displaystyle \ell =\alpha (t).}$ Кожен полюс дає внесок в амплітуду розсіяння, який асимптотично (${\displaystyle s\rightarrow \infty }$ при фіксованому ${\displaystyle t}$) поводиться як

$${\displaystyle A(s,t)\sim _{s\rightarrow \infty }s^{\alpha (t)}.}$$

Тобто сингулярність, що має найбільшу дійсну частину (основна сингулярність) в ${\displaystyle t}$-каналі визначає асимптотичне поводження амплітуди розсіяння в ${\displaystyle s}$-каналі. Насправді, в теорії Редже, що застосовується в теорії ${\displaystyle S}$-матриці, вигляд сингулярностей складніший, аніж прості полюси (наприклад, наявність таких сингулярностей, як розрізи, які значно ускладнюють теорію Редже).

Основним принципом кросингу є те, що з однієї і тієї ж функції ${\displaystyle A(s,t)}$ аналітично продовженої в три фізичні області значень кінематичних змінних отримується амплітуда розсіяння для відповідної області, де ${\displaystyle s,t,u}$ пов'язані як $${\displaystyle s+t+u=\sum _{i=1}^{4}m_{i}^{2}.}$$Таке твердження виявляється правильним для діаграм Фейнмана, де, наприклад, для реакцій ${\displaystyle e^{-}e^{-}\rightarrow e^{-}e^{-}}$ і ${\displaystyle e^{+}e^{-}\rightarrow e^{+}e^{-}}$ для опису використовується одна і та ж діаграма Фейнмана. Кросингова симетрія є наслідком аналітичних властивостей амплітуди. Припустімо, що є процес

$${\displaystyle a+b\rightarrow c+d,}$$амплітуду можна записати у вигляді ${\displaystyle A_{a+b\rightarrow c+d}(s,t,u)}$, лишаючи ${\displaystyle u}$  для симетрії, але пам'ятаючи, що вона не є незалежною змінною. Фізичною областю для вищенаписаного процесу є область, де ${\displaystyle s>\max\{(m_{a}+m_{b})^{2},(m_{c}+m_{d})^{2}\}}$. В загальному випадку основна частина фізичної області по ${\displaystyle t}$ і ${\displaystyle u}$ має обмеження ${\displaystyle t,u<0}$. Амплітуда може бути аналітично проджена в область ${\displaystyle t>\max\{(m_{a}+m_{\bar {c}})^{2},(m_{\bar {b}}+m_{d})^{2}\}}$ і ${\displaystyle s,u<0}$, в такій області матимемо амплітуду для процесу в ${\displaystyle t}$-каналі$${\displaystyle a+{\bar {c}}\rightarrow {\bar {b}}+d,}$$де ${\displaystyle {\bar {c}}}$ і ${\displaystyle {\bar {b}}}$ античастинки відповідно для ${\displaystyle b}$ і ${\displaystyle c}$. Таким чином, для амплітуд існуватиме рівність

$${\displaystyle A_{a+b\rightarrow c+d}(s,t,u)=A_{a+{\bar {c}}\rightarrow {\bar {b}}+d}(t,s,u).}$$

У квантовій механіці теорія Редже застосовна тільки до певного класу потенціалів, до них є дві умови:

$${\displaystyle r^{2}U(r)\rightarrow _{r\rightarrow 0}0;rU(r)\rightarrow _{r\rightarrow \infty }0.}$$Тоді парціальна амплітуда, продовжена в комплексну площину кутового моменту, запишеться так

$${\displaystyle a(\ell ,k)={\frac {e^{i\pi \ell }g(\ell ,k)-g(\ell ,-k)}{2ikg(\ell ,-k)}},}$$

де ${\displaystyle g(\ell ,k)}$ так звана функція Йоста^[1]. Важливий клас потенціалів, що мають вищезазначені властивості записується у вигляді узагальненого потенціалу Юкави

$${\displaystyle U(r)=\int _{m}^{\infty }c(\mu )e^{-\mu r}d\mu .}$$ Для ${\displaystyle c(\mu )=C={\text{const}}}$ цей потенціал збігається з потенціалом Юкави в його початковій формі, яку використовував Юкава $${\displaystyle U(r)=C{\frac {e^{-\mu r}}{r}}.}$$ Амплітуда розсіяння в борнівському наближенні, що відповідає цьому потенціалу, має вигляд ${\displaystyle f(q)\sim {\frac {1}{t-m^{2}}},}$, в якій ${\displaystyle t=-q^{2}=-({\textbf {k}}'-{\textbf {k}})^{2}}$ і яка подібна на амплітуду обміну скалярним мезоном. Таким чином, взаємодія при потенціалах юкавського типу має схожість із взаємодією в теорії ${\displaystyle S}$-матриці.

Функції Йоста мають такі аналітичні властивості^[4] : перше — для ${\displaystyle {\text{Re }}{\textrm {}}\ell >-1/2}$ сингулярностями ${\displaystyle a(\ell ,k)}$ як функції ${\displaystyle \ell }$ є скінченна кількість простих полюсів, друге — амплітуда ${\displaystyle a(\ell ,k)}$ прямує експоненціально до нуля при ${\displaystyle |\ell |\rightarrow \infty }$, коли ${\displaystyle {\text{Re }}{\textrm {}}\ell >-1/{2}.}$.

Таким чином, задовольняються всі умови щодо аналітичного продовження функції ${\displaystyle a(\ell ,k)}$ , яку до того ж може бути продовжено єдиним способом. Далі можна отримати представлення Ватсона-Зомерфельда для ${\displaystyle |{\cos \theta }|\rightarrow \infty }$ і фіксованої енергії ${\displaystyle k}$, амплітуда розсіяння поводиться як

$${\displaystyle f(k,\theta ){\sim }_{|{\cos \theta }|\rightarrow \infty }-\beta (k){\frac {(-\cos \theta )^{\alpha (k)}}{\sin \pi \alpha (k)}},}$$де ${\displaystyle \alpha (k)}$ — це домінантна траєкторія Редже, ${\displaystyle \beta (k)}$ — лишок полюсу Редже, ${\displaystyle \cos \theta =1+{\frac {2t}{s-4m^{2}}}.}$ Зрозуміло, що вираз ${\displaystyle |{\cos \theta }|\rightarrow \infty }$ не має сенсу, а вивід має тільки демонстративне значення, але в релятивістській теорії ця умова може бути записана як ${\displaystyle |t|\rightarrow \infty }$, а вона вже має фізичний зміст.

За наявності обмінної взаємодії у виразі для амплітуди з'являється множник ${\displaystyle (-1)^{\ell }}$. У цьому випадку умова можливості аналітичного продовження не задовольняється, оскільки при ${\displaystyle |\ell |\rightarrow \infty }$ цей множник вносить розбіжність в амплітуду. В результаті теорема Карлсона не справджується, цю проблему можна зняти, якщо ввести ще одне додаткове квантове число — сигнатуру.

У квантовій механіці множник ${\displaystyle (-1)^{\ell }}$ з'являється тільки в окремих випадках (наявності обмінних взаємодій), в той час як в релятивістській теорії він є наслідком кросингу і не може бути виключеним, тому врахування сигнатури в ній необхідне всюди.

Можна показати, що для парціальної амплітуди для випадку релятивистської квантової теорії можливе представлення Фруассара-Грибова, вводячи нове квантове число — сигнатуру, яка приймає два значення ${\displaystyle \xi =\pm 1}$, можна переписати амплітуду із визначеною сигнатурою, що має «гарну» поведінку при ${\displaystyle \ell \rightarrow \infty }$:

$${\displaystyle A^{\xi }(z_{t},t)=-\sum _{i_{\xi }}\pi (2\alpha _{i_{\xi }}(s)+1)\beta _{i_{\xi }}(s){\frac {P_{\alpha _{i_{\xi }}}(-z_{t})}{\sin \pi \alpha _{i_{\xi }}}}-{\frac {1}{2i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }(2\ell +1)A^{\xi }(\ell ,s){\frac {P_{\ell }(-z_{t})}{\sin \pi \ell }}d\ell ,}$$

де сумування по полюсах із визначеною сигнатурою і ${\displaystyle z_{t}\equiv \cos \theta _{t}=1+{\frac {2s}{t-4m^{2}}}.}$ Повна амплітуда тоді

$${\displaystyle A(z_{t},t)=-\sum _{\xi =\pm 1}\sum _{i_{\xi }}{\frac {1+\xi e^{-i\pi \ell }}{2}}\pi (2\alpha _{i_{\xi }}(s)+1)\beta _{i_{\xi }}(s){\frac {P_{\alpha _{i_{\xi }}}(-z_{t})}{\sin \pi \alpha _{i_{\xi }}}}-{\frac {1}{2i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {1+\xi e^{-i\pi \ell }}{2}}(2\ell +1)A^{\xi }(\ell ,s){\frac {P_{\ell }(-z_{t})}{\sin \pi \ell }}d\ell ,}$$

при великих значеннях ${\displaystyle |z_{t}|}$, враховуючи тільки крайній правий полюс, $${\displaystyle A(s,t)\sim _{s\rightarrow \infty }-\beta (t){\frac {1+\xi e^{-i\pi \ell }}{\sin \pi \alpha (t)}}s^{\alpha (t)},}$$ що збігається з основним виразом для полюсу домінантного вкладу в амплітуди розсіяння траєкторії Редже ${\displaystyle \alpha (t)}$ , тільки додатково із сигнатурним множником ${\displaystyle (1+\xi e^{-i\pi \ell })}$.

• Померон
• Одерон

• Ширков Д. В., Свойства траекторий полюсов Редже, «УФН», 1970, т. 102, в. 1
• Коллинз П. Д. Б., Сквайр Э. Дж., Полюса Редже в физике частиц, пер. с англ., М., 1971
• Regge Т., Introduction to complex· orbital momenta, «Nuovo Cim.», 1959, v. 14, p. 951
• R.J. Eden, Regge poles and elementary particles, Rep. Prog. Phys. 34 995—1053 (1971)
• A.C. Irving, R.P. Worden, Regge phenomenology, Phys.Rept. 34, 117—231 (1977)