Теорема Феєра

У математиці, теорема Феєра, стверджує, що якщо f:R → C є неперервна функція із періодом 2π, тоді послідовність середніх за Чезаро (σ_n) послідовності часткових сум (s_n) ряду Фур'є функції f рівномірно збігається до f на проміжку [-π,π].

Більш детально, якщо:

${\displaystyle s_n(x)=\sum _{k=-n}^n{c}_k{e}^{ikx},}$

є частковими сумами ряду Фур'є, де

${\displaystyle c_k=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}dt,}$

і

${\displaystyle {\sigma }_n(x)=\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}{s}_k(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x-t)F_n(t)dt,}$

де F_n позначає ядро Феєра n-го порядку, то послідовність (σ_n) є рівномірно збіжною на проміжку [-π,π] до функції f(x).

Більш загально теорему можна застосувати до функцій які можуть не бути неперервними ^[1]. Якщо f належить L¹(-π,π) і існують односторонні границі f(x₀±0) функції f(x) у точці x₀ або ці границі є нескінченні із однаковим знаком, то

${\displaystyle {\sigma }_n(x_0)\to \frac{1}{2}(f(x_0+0)+f(x_0-0)).}$

Згідно теореми Марселя Ріса теорема Феєра також виконується якщо замінити (C, 1)-середнє σ_n (C, α)-середнє рядів Фур'є^[2].

Підставляючи коефіцієнти Фур'є у формули для часткових сум одержуються загальні формули:

${\displaystyle s_n(x)=\sum _{k=-n}^n(\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}dt)e^{ikx}=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)\sum _{k=-n}^n{e}^{ik(x-t)}dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(t)D_n(x-t)dt.}$

Після заміни змінних можна також написати

${\displaystyle s_n(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x-t)D_n(t)dt,}$

де ${\displaystyle D_n(t)}$ позначає відповідне ядро Діріхле.

Тоді також

${\displaystyle {\sigma }_n(x)=\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n{s}_k(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x-t)(\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n{D}_n(t))dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x-t)F_n(t)dt,}$

де ${\displaystyle F_n(t)}$ позначає відповідне ядро Феєра.

Далі, враховуючи, що для всіх ядер Феєра ${\displaystyle \frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{F}_n(t)dt=1,}$ також можна записати

${\displaystyle {\sigma }_n(x)-f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }(f(x-t)-f(x))F_n(t)dt.}$

Оскільки ядро Феєра є невід'ємною функцією, то звідси:

${\displaystyle |{\sigma }_n(x)-f(x)|⩽\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }|f(x-t)-f(x)|F_n(t)dt.}$

Оскільки f є неперервною на проміжку [-π,π], то вона є на ньому рівномірно неперервною, тобто для кожного ${\displaystyle \epsilon >0}$ існує ${\displaystyle \delta >0}$ таке, що для всіх ${\displaystyle |x-y|⩽\delta }$ ${\displaystyle |f(x)-(y)|<\epsilon /2.}$

Інтеграл із останньої рівності можна записати як суму ${\displaystyle \frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }|f(x-t)-f(x)|F_n(t)dt=I_1+I_2,}$ де:

${\displaystyle I_1=\frac{1}{2\pi }{\int }_{|t|⩽\delta }|f(x-t)-f(x)|F_n(t)dt}$

${\displaystyle I_2=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\pi ⩾|t|⩾\delta }|f(x-t)-f(x)|F_n(t)dt}$

Через рівномірну неперервність функції f і знову використавши рівність ${\displaystyle \frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{F}_n(t)dt=1,}$ для першого інтегралу

${\displaystyle I_1<\frac{1}{2\pi }{\int }_{|t|⩽\delta }\epsilon F_n(t)dt=\epsilon }$

Для другого інтегралу, якщо позначити ${\displaystyle M=\underset{x\in [-\pi ,\pi ]}{sup}|f(x)|}$, то

${\displaystyle I_2⩽\frac{1}{2\pi }{\int }_{\pi ⩾|t|⩾\delta }2M{F}_n(t)dt=\frac{M}{\pi }{\int }_{\pi ⩾|t|⩾\delta }{F}_n(t)dt}$

Згідно властивостей ядра Феєра останній вираз прямує до нуля для великих n, тобто для достатньо великих n:

${\displaystyle I_2⩽\frac{M}{\pi }{\int }_{\pi ⩾|t|⩾\delta }{F}_n(t)dt<\epsilon /2.}$

Остаточно у цьому випадку

${\displaystyle |{\sigma }_n(x)-f(x)|⩽\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }|f(x-t)-f(x)|F_n(t)dt=I_1+I_2<\epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon .}$

Тобто ${\displaystyle {\sigma }_n(x)}$ прямує до ${\displaystyle f(x)}$ і крім того збіжність є рівномірною оскільки індекс n у доведенні вище був обраний єдиним для всіх ${\displaystyle x.}$

• Ряд Фур'є
• Ядро Діріхле
• Ядро Феєра

• Zygmund, Antoni (1968), Trigonometric Series (вид. 2nd), Cambridge University Press (опубліковано 1988), ISBN 978-0-521-35885-9.