Теорема Нетер

Нехай у просторі-часі, в якому записаний вираз для дії, існують певні симетрії. Це означає, що інтеграл, через який визначається дія, не змінюється при застосуванні деяких неперервних перетворень, кожне з яких відповідає своїй симетрії. Це означає, що не змінюються і рівняння руху. Шукані перетворення, які задовольнують цій умові, і треба знайти.

Нехай є деякі неперервні перетворення координат, ${\displaystyle x{\text{'}}^{\mu }}$, та полів, ${\displaystyle \mathrm{\Psi }{\text{'}}^{\mu }}$, що залежать від ${\displaystyle m}$ дійсних параметрів ${\displaystyle {\omega }^{\alpha }=({\omega }^1,\mathrm{...},{\omega }^m)}$. Тоді

${\displaystyle x^{\mu }:x{\text{'}}^{\mu }=f^{\mu }(x,{\omega }^{\alpha }),{\mathrm{\Psi }}_k(x):\mathrm{\Psi }{\text{'}}_k(x^{\prime })=F_k(\mathrm{\Psi }(x),{\omega }^{\alpha })(.1)}$,

причому при тотожних перетвореннях можна записати, що

${\displaystyle f(x^{\mu },0)=x^{\mu },F(\mathrm{\Psi }(x),0)=\mathrm{\Psi }(x)(.2)}$,

а умовою інваріантності дії при перетвореннях цих величин є

${\displaystyle \underset{{\omega }^{\prime }}{\int }L[{\mathrm{\Psi }}^{\prime }(x^{\prime }),{\partial }_{\mu }{\mathrm{\Psi }}^{\prime }(x^{\prime })]d^4{x}^{\prime }=\underset{\omega }{\int }L[\mathrm{\Psi }(x),{\partial }_{\mu }\mathrm{\Psi }(x)]d^{4}x(.3)}$,

де врахована залежність функції Лагранжа від як від часу, так і від точки: у частинному випадку, коли функція Лагранжа записана для скалярних функцій, вона залежить лише від часу, проте у більш загальному випадку вона записана для векторних функцій, а отже, залежить від 4-вектора ${\displaystyle r^{\mu }=(ct,𝐫)}$.

Для малих ${\displaystyle {\omega }^{\alpha }}$, з урахуванням ${\displaystyle (.2)}$, ${\displaystyle (.1)}$ можна розкласти в ряд до лінійних по ${\displaystyle {\omega }^{\alpha }}$ доданків:

${\displaystyle f(x^{\mu },{\omega }^{\alpha })\approx x+\sum _{\alpha }\frac{\partial f(x^{\mu },{\omega }^{\alpha })}{\partial {\omega }^{\alpha }}{\omega }^{\alpha }=x^{\mu }+\delta x^{\mu },F_k({\mathrm{\Psi }}_k(x),w^{\alpha })\approx \sum _k{\mathrm{\Psi }}_k(x)+\sum _{\alpha ,k}\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}_k}{\partial {\omega }^{\alpha }}{\omega }^{\alpha }=\sum _k{\mathrm{\Psi }}_k(x)+\sum _k\delta {\mathrm{\Psi }}_k(x)(.4)}$.

Надалі позначення суми для цих і пов'язаних із ними виразів не будуть писатися.

Для того, щоб виділити у перетворенні поля перетворення, що змінює функціональну залежність поля від аргументів, і перетворення, що змінює значення полів, можна розкласти поле для малого приросту координати ${\displaystyle \delta x}$:

${\displaystyle {{\mathrm{\Psi }}_{k^{\prime }}}^{\prime }(x^{\prime })\approx {{\mathrm{\Psi }}_{k^{\prime }}}^{\prime }(x+\delta x)={{\mathrm{\Psi }}_{k^{\prime }}}^{\prime }(x)+\delta x^{\mu }{\partial }_{\mu }{\mathrm{\Psi }}_k(x)(.5)}$,

де штрих при ${\displaystyle {\mathrm{\Psi }}_k}$ у другому доданку прибрано для збереження порядку малості по ${\displaystyle {\omega }^{\alpha }}$.

З іншого боку, сраведливий вираз ${\displaystyle (.4)}$. Якщо прирівняти ${\displaystyle (.4)}$ до ${\displaystyle (.5)}$, можна отримати:

${\displaystyle {{\mathrm{\Psi }}_{k^{\prime }}}^{\prime }(x)+\delta x^{\mu }{\partial }_{\mu }{\mathrm{\Psi }}_k(x)={\mathrm{\Psi }}_k(x)+\delta {\mathrm{\Psi }}_k(x)\Rightarrow {{\mathrm{\Psi }}_{k^{\prime }}}^{\prime }(x)={\mathrm{\Psi }}_k(x)+\delta {\mathrm{\Psi }}_k(x)-\delta x^{\mu }{\partial }_{\mu }{\mathrm{\Psi }}_k(x)={\mathrm{\Psi }}_k(x)+\tilde{\delta }{\mathrm{\Psi }}_k(x)(.6)}$.

Із позначення ${\displaystyle {\mathrm{\Psi }}^{\prime }(x)}$ видно, що ${\displaystyle (.6)}$ відповідає за зміну форми функції без зміни функціональної залежності від ${\displaystyle x}$. Користуючись заміною змінних при інтегруванні, можна отримати, що

${\displaystyle \underset{{\omega }^{\prime }}{\int }L[{\mathrm{\Psi }}^{\prime }(x^{\prime }),{\partial }_{\mu }{\mathrm{\Psi }}^{\prime }(x^{\prime })]d^4{x}^{\prime }\approx \underset{\omega }{\int }(L[{\mathrm{\Psi }}^{\prime }(x),{\partial }_{\mu }{\mathrm{\Psi }}^{\prime }(x)]+{\partial }_{\mu }(L[\mathrm{\Psi }(x),{\partial }_{\mu }\mathrm{\Psi }(x)]\delta x^{\mu }))d^{4}x(.7)}$.

Залишається лише перетворити доданок ${\displaystyle L({\mathrm{\Psi }}^{\prime }(x),\partial {\mathrm{\Psi }}^{\prime }(x))}$:

${\displaystyle L[{\mathrm{\Psi }}^{\prime }(x),{\partial }_{\mu }{\mathrm{\Psi }}^{\prime }(x)]=|(.6)|=L[\mathrm{\Psi }(x)+\tilde{\delta }\mathrm{\Psi }(x),\partial \mathrm{\Psi }(x)+\partial \tilde{\delta }\mathrm{\Psi }(x)]\approx L[\mathrm{\Psi }(x),{\partial }_{\mu }\mathrm{\Psi }(x)]+\frac{\partial L}{\partial {\mathrm{\Psi }}_k}\tilde{\delta }{\mathrm{\Psi }}_k+\frac{\partial L}{\partial ({\partial }_{\mu }{\mathrm{\Psi }}_k(x))}{\partial }_{\mu }\tilde{\delta }{\mathrm{\Psi }}_k(x)}$.

Підставивши це у ${\displaystyle (.7)}$, можна отримати:

${\displaystyle \underset{\omega }{\int }(L[\mathrm{\Psi }(x),\partial \mathrm{\Psi }(x)]+\frac{\partial L}{\partial {\mathrm{\Psi }}_k}\tilde{\delta }{\mathrm{\Psi }}_k+\frac{\partial L}{\partial ({\partial }_{\mu }{\mathrm{\Psi }}_k(x))}{\partial }_{\mu }\tilde{\delta }{\mathrm{\Psi }}_k(x)+{\partial }_{\mu }(L[\mathrm{\Psi }(x),{\partial }_{\mu }\mathrm{\Psi }(x)]\delta x^{\mu }))d^{4}x=(.3)=\underset{\omega }{\int }L[\mathrm{\Psi }(x),{\partial }_{\mu }\mathrm{\Psi }(x)]d^{4}x\Rightarrow }$

${\displaystyle \Rightarrow \underset{\omega }{\int }(\frac{\partial L}{\partial {\mathrm{\Psi }}_k}\tilde{\delta }{\mathrm{\Psi }}_k(x)+\frac{\partial L}{\partial ({\partial }_{\mu }{\mathrm{\Psi }}_k(x))}{\partial }_{\mu }\tilde{\delta }{\mathrm{\Psi }}_k(x)+{\partial }_{\mu }(L[\mathrm{\Psi }(x),{\partial }_{\mu }\mathrm{\Psi }(x)]\delta x^{\mu }))d^{4}x=0(.8)}$.

Використовуючи рівняння Лагранжа для векторних полів,

${\displaystyle {\partial }_{\mu }\left(\frac{\partial L}{\partial ({\partial }_{\mu }{\mathrm{\Psi }}_k)}\right)=\frac{\partial L}{\partial {\mathrm{\Psi }}_k}}$,

із ${\displaystyle (.8)}$ можна отримати:

${\displaystyle \underset{\omega }{\int }({\partial }_{\mu }\left(\frac{\partial L}{\partial ({\partial }_{\mu }{\mathrm{\Psi }}_k)}\right)\tilde{\delta }{\mathrm{\Psi }}_k(x)+\frac{\partial L}{\partial ({\partial }_{\mu }{\mathrm{\Psi }}_k(x))}{\partial }_{\mu }\tilde{\delta }{\mathrm{\Psi }}_k(x)+{\partial }_{\mu }(L[\mathrm{\Psi }(x),{\partial }_{\mu }\mathrm{\Psi }(x)]\delta x^{\mu }))d^{4}x=0(.9)}$.

Тепер можна винести ${\displaystyle {\partial }_{\mu }}$ із виразу у дужках, оскільки із ${\displaystyle (.6)}$ слідує, що

${\displaystyle \tilde{\delta }{\mathrm{\Psi }}_k={{\mathrm{\Psi }}_{k^{\prime }}}^{\prime }(x)-{\mathrm{\Psi }}_k(x)\Rightarrow \tilde{\delta }({\partial }_{\mu }{\mathrm{\Psi }}_k)={\partial }_{\mu }\mathrm{\Psi }{\text{'}}_k-{\partial }_{\mu }{\mathrm{\Psi }}_k={\partial }_{\mu }(\tilde{\delta }{\mathrm{\Psi }}_k)\Rightarrow {\partial }_{\mu }\left(\frac{\partial L}{\partial ({\partial }_{\mu }{\mathrm{\Psi }}_k)}\right)\tilde{\delta }{\mathrm{\Psi }}_k(x)+\frac{\partial L}{\partial ({\partial }_{\mu }{\mathrm{\Psi }}_k(x))}{\partial }_{\mu }\tilde{\delta }{\mathrm{\Psi }}_k(x)=}$

${\displaystyle ={\partial }_{\mu }(\frac{\partial L}{\partial ({\partial }_{\mu }{\mathrm{\Psi }}_k)}\tilde{\delta }{\mathrm{\Psi }}_k(x))}$.

Отже,

${\displaystyle \underset{\omega }{\int }{\partial }_{\mu }(\frac{\partial L}{\partial ({\partial }_{\mu }{\mathrm{\Psi }}_k)}\tilde{\delta }{\mathrm{\Psi }}_k(x)+{\partial }_{\mu }(L[\mathrm{\Psi }(x),{\partial }_{\mu }\mathrm{\Psi }(x)]\delta x^{\mu }))d^{4}x=|\tilde{\delta }{\mathrm{\Psi }}_k={{\mathrm{\Psi }}_{k^{\prime }}}^{\prime }(x)-{\mathrm{\Psi }}_k(x),\delta x^{\nu }=X_{\alpha }^{\nu }{\omega }^{\alpha },\delta {\mathrm{\Psi }}_k(x)=Y_{k,\alpha }{\omega }^{\alpha }|=}$

${\displaystyle =\underset{\omega }{\int }{\partial }_{\mu }[\frac{\partial L}{\partial ({\partial }_{\mu }{\mathrm{\Psi }}_k)}(Y_{k,\alpha }-X_{\alpha }^{\nu }{\partial }_{\nu }{\mathrm{\Psi }}_k)+L{X}_{\alpha }^{\nu }]{\omega }^{\alpha }{d}^{4}x=0(.9)}$.

Отже, якщо дія інваріантна відносно деяких перетворень координат та полів, ${\displaystyle x^{\prime }=f(x,{\omega }^{\alpha }),{\mathrm{\Psi }}^{\prime }(x)=F(\mathrm{\Psi }(x),{\omega }^{\alpha })}$, ${\displaystyle \alpha =1,\mathrm{....},m}$, то існує m величин ${\displaystyle J_{\alpha }^{\mu }}$

${\displaystyle J_{\alpha }^{\mu }=\frac{\partial L}{\partial ({\partial }_{\mu }{\mathrm{\Psi }}_k)}{Y}_{k,\alpha }-(\frac{\partial L}{\partial ({\partial }_{\mu }{\mathrm{\Psi }}_k)}{\partial }_{\nu }{\mathrm{\Psi }}_k-{\delta }_{\nu }^{\mu }L)X_{\alpha }^{\nu }}$

(${\displaystyle {\delta }_{\nu }^{\mu }}$ - символ Кронекера), причому з ${\displaystyle (.9)}$ видно, що

${\displaystyle {\partial }_{\mu }{J}_{\alpha }^{\mu }={\partial }_0{J}_{\alpha }^0+{\partial }_j{J}_{\alpha }^j=\frac{\partial J_{\alpha }^0}{\partial t}+{\mathrm{\nabla }}_j{J}_{\alpha }^j=0(.10)}$.

Отже, можна провести аналогію ${\displaystyle J_{\alpha }^{\mu }}$ зі струмами, оскільки останнє рівняння є рівнянням неперервності. З нього ж можна отримати, що

${\displaystyle \frac{\partial J_{\alpha }^0}{\partial t}=\frac{d{Q}_{\alpha }}{dt}=-\int {\mathrm{\nabla }}_j{J}_{\alpha }^j=-\int J_{\alpha }^{j}dS,Q_{\alpha }=\underset{V}{\int }{J}_{\alpha }^0(t,𝐫)d^3𝐫(.11)}$,

де величина ${\displaystyle Q}$ умовно названа "зарядом", а просторові компоненти ${\displaystyle J_{\alpha }^j}$ можна інтерпретувати як деякий вектор потоку, що змінює ці "заряди" при пересіканні потоком поверхні ${\displaystyle S}$, що обмежує об'єм ${\displaystyle V}$. Якщо поля на нескінченності зникають, то з ${\displaystyle (.11)}$ слідує, що ${\displaystyle \frac{d{Q}_{\alpha }}{dt}=0}$, Оскільки при віднесенні поверхні ${\displaystyle S}$ на нескінченність слідує, що потік ${\displaystyle J_{\alpha }^j}$ через неї рівен нулю.