Сума Гаусса

У математиці під сумою Гаусса розуміють певний вид скінченних сум коренів з одиниці, як правило, записаних у вигляді

${\displaystyle G(\chi ):=G(\chi ,\psi )=\sum \chi (r)\cdot \psi (r)}$

Тут сума береться за всіма елементами r деякого скінченного комутативного кільця R, ψ(r) — гомоморфізм адитивної групи R⁺ в одиничне коло, χ(r) — гомоморфізм групи одиниць R^× в одиничне коло, розширене елементом 0. Суми Гаусса є аналогом гама-функцій для випадку скінченних полів.

Ці суми часто зустрічаються в теорії чисел, зокрема, у функціональних рівняннях L-функцій Діріхле.

Карл Фрідріх Гаусс використовував властивості сум для розв'язування деяких задач теорії чисел, зокрема він застосував їх в одному з доведень квадратичного закону взаємності. Спочатку під сумами Гаусса мали на увазі квадратичні суми Гаусса, для яких R — поле лишків за модулем p, а χ - символ Лежандра. Для цього випадку Гаусс показав, що G(χ) = p^1/2 або ip^1/2 коли p порівнянне з 1 або 3 за модулем 4 відповідно.

Альтернативна форма запису суми Гаусса:

${\displaystyle \sum e^{\frac {2\pi ir^{2}}{p}}}$

Загальну теорію сум Гаусса розроблено на початку XIX століття з використанням сум Якобі та їх розкладів на прості у кругових полях.

Значення сум Гаусса для теорії чисел виявлено лише в 1920-х роках. У цей час Герман Вейль застосував для дослідження рівномірних розподілів загальніші тригонометричні суми, згодом названі сумами Вейля. Тоді ж І. М. Виноградов використав суми Гаусса для отримання оцінки зверху найменшого квадратичного нелишку за модулем р. Суми Гаусса дозволяють установити зв'язок між двома важливими об'єктами теорії чисел: мультиплікативними та адитивними характерами. Квадратичні суми Гаусса тісно пов'язані з теорією θ-функцій.

Абсолютне значення сум Гаусса зазвичай знаходять за допомогою теореми Планшереля для скінченних груп. У випадку, коли R — поле з p елементів і χ нетривіальний, абсолютне значення дорівнює p^1/2. Обчислення точного значення загальних сум Гаусса є непростою задачею.

Сума Гаусса для характеру Діріхле за модулем N

${\displaystyle G(\chi )=\sum _{a=1}^{N}\chi (a)e^{2\pi ia/N}.}$

Якщо χ — примітивний, то

${\displaystyle |G(\chi )|={\sqrt {N}},}$

і, зокрема, не дорівнює нулю. Загальніше, якщо N₀ — кондуктор характеру χ і χ ₀ — примітивний характер Диріхле за модулем N₀, що індукує χ, то

${\displaystyle G(\chi )=\mu (N/N_{0})\chi _{0}(N/N_{0})G(\chi _{0})}$

де μ — функція Мебіуса.

З цього випливає, що G(χ) не дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли N/N ₀ вільне від квадратів і взаємно просте з N₀.

Виконується також співвідношення

${\displaystyle G({\overline {\chi }})=\chi (-1){\overline {G(\chi )}},}$

де χ — комплексне спряження характеру Діріхле.

Якщо χ′ — характер Діріхле за модулем N′, такий що N та N′ взаємно прості, то

${\displaystyle G(\chi \chi ^{\prime })=\chi (N^{\prime })\chi ^{\prime }(N)G(\chi )G(\chi ^{\prime }).}$

• Теорема Човли — Морделла
• Еліптична сума Гаусса

• Berndt, B. C.; Evans, R. J.; Williams, K. S. Gauss and Jacobi Sums. — Wiley, 1998. — (Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts) — ISBN 0-471-12807-4.
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael. A Classical Introduction to Modern Number Theory. — 2nd. — Springer-Verlag, 1990. — Т. 84. — (Graduate Texts in Mathematics) — ISBN 0-387-97329-X.
• Section 3.4 of Iwaniec, Henryk; Kowalski, Emmanuel (2004), Analytic number theory, American Mathematical Society Colloquium Publications, т. 53, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3633-0, MR 2061214, Zbl 1059.11001
• Artin E.,Tate J., Class field theory, N. Y.-Amst., 1967
• Карл Фридрих Гаусс. Сб. статей, М., 1956 (рос.)
• Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971 (рос.)
• Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел, пер. с англ., М., 1971 (рос.)
• Прахар К. Распределение простых чисел, пер. с нем., М., 1967 (рос.)
• Хассе Г. Лекции по теории чисел, пер. с нем., М., 1953 (рос.)

• Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969 (рос.)
• Серр Ж.-П. Абелевы l-адические представления и эллиптические кривые, пер. с англ., М., 1973 (рос.)