Стала Гаусса

Стала Гаусса
Названо на честь	Карл Фрідріх Гаус
Числове значення	0,8346268 ± 1,0E−7
Формула	${\displaystyle G=\frac{1}{\mathrm{agm}(1,\sqrt{2})}=\frac{2}{\pi }{\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^4}}}$

В математиці стала Гаусса (позначається як ${\displaystyle G}$) визначається як обернене середнє арифметико-геометричне з 1 та квадратного кореня з 2:

${\displaystyle {\displaystyle G=\frac{1}{\mathrm{agm}(1,\sqrt{2})}=\mathrm{0,8346268}\dots .}}$

Стала була названа на честь Карла Фрідріха Гаусса, який у 1799 році^[1] довів, що

${\displaystyle G=\frac{2}{\pi }{\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^4}},}$

а отже

${\displaystyle G=\frac{1}{2\pi }\mathrm{B}(\frac{1}{4},\frac{1}{2}),}$

де ${\displaystyle B}$ позначає бета-функцію.

Стала Гаусса може бути використана для обчислення гамма-функції при значенні аргументу 1/4:

${\displaystyle {\displaystyle \mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)=\sqrt{2G\sqrt{2{\pi }^3}}}.}$

Альтернативний варіант:

${\displaystyle {\displaystyle G=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right){}^2}{2\sqrt{2{\pi }^3}}},}$

і, оскільки ${\displaystyle \pi }$ та ${\displaystyle \mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)}$ алгебраїчно незалежні, то стала Гаусса є трансцендентною.

Стала Гаусса може бути використана для визначення лемніскатних сталих.

Гаусс та інші^[2][3] використовували еквівалентний запис:

${\displaystyle \varpi =\pi G,}$

який є лемніскатною сталою.

Однак Джон Тодд використовував іншу термінологію, визначаючи дві "лемніскатні сталі" ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle B}$:^[4]

${\displaystyle \begin{array}{cc}A& =\frac{1}{2}\pi G=\frac{1}{2}\varpi =\frac{1}{4}\mathrm{B}(\frac{1}{4},\frac{1}{2}),\\ B& =\frac{1}{2G}=\frac{1}{4}\mathrm{B}(\frac{1}{2},\frac{3}{4}).\end{array}}$

Вони виникають при знаходженні довжини дуги лемніскати Бернуллі. ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle B}$ є трансцендентними, що було доведено Теодором Шнайдером відповідно у 1937 та 1941 роках.^[4]

Формула для ${\displaystyle G}$ у термінах тета-функцій Якобі має наступний вигляд:

${\displaystyle G={\vartheta }_{01}^2\left({\mathrm{e}}^{-\pi }\right),}$

а також у вигляді швидкозбіжного ряду:

${\displaystyle G=\sqrt[4]{32}{\mathrm{e}}^{-\frac{\pi }{3}}{(\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{\mathrm{e}}^{-2n\pi (3n+1)})}^2.}$

Стала також задається нескінченним добутком

${\displaystyle G=\prod _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{th}}^2\left(\frac{\pi m}{2}\right).}$

Аналогічно за формулою Валліса:^[5]

${\displaystyle G=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{4n-1}{4n}\cdot \frac{4n+2}{4n+1})=(\frac{3}{4}\cdot \frac{6}{5})(\frac{7}{8}\cdot \frac{10}{9})(\frac{11}{12}\cdot \frac{14}{13})\cdots }$

А також вона випливає з визначених інтегралів:

${\displaystyle \frac{1}{G}={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{\sin (x)}\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{\cos (x)}\mathrm{d}x,}$

${\displaystyle G={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{\mathrm{ch}(\pi x)}}.}$

Стала Гаусса у вигляді ланцюгового дробу має вигляд ${\displaystyle [0,1,5,21,3,4,14,\dots ]}$. (послідовність A053002 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

• Лемніскатна еліптична функція

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2026. — 2390 с.(укр.)

• Weisstein, Eric W. Gauss's Constant(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Sequences A014549 and A053002 in OEIS

• Gauss's constant and where it occurs. www.johndcook.com (амер.). 17 жовтня 2021.