Середня довгота

Середня довгота — екліптична довгота, на якій розташовувалося б тіло в задачі двох тіл, якби його орбіта була коловою й вільною від збурень. На практиці середня довгота не відповідає жодному окремому фізичному куту^[1].

• Задають базовий напрямок ♈︎ уздовж екліптики. Зазвичай це напрямок на точку весняного рівнодення. У цій точці екліптична довгота дорівнює 0°.
• Орбіта тіла зазвичай нахилена до екліптики, тому кутову відстань від ♈︎ до місця, де орбіта перетинає екліптику з півдня на північ, визначають як довготу висхідного вузла Ω.
• Кутову відстань уздовж площини орбіти від висхідного вузла до перицентра визначають як аргумент перицентра ω.
• Середня аномалія M — це кутова відстань від перицентра, яку тіло мало б, якби воно рухалося круговою орбітою з тим самим орбітальним періодом, що й реальне тіло на своїй еліптичній орбіті.

З цих визначень випливає, що середня довгота L — це кутова відстань від базового напрямку, яку тіло мало б, якби рухалося з рівномірною швидкістю,

${\displaystyle L=\mathrm{\Omega }+\omega +M}$,

яку вимірюють уздовж екліптики від ♈︎ до висхідного вузла, а потім угору вздовж площини орбіти тіла до його середнього положення^[2].

Іноді значення, визначене таким чином, називають «середньою середньою довготою» (англ. mean mean longitude), а термін «середня довгота» використовують для значення, яке має короткострокові варіації (наприклад, протягом синодичного місяця або року у випадку Місяця), але не включає поправку на різницю між істинною та середньою аномаліями^[3][4]. Також іноді середню довготу (або середню середню довготу) розглядають як функцію, що повільно змінюється та моделюється за допомогою ряду Маклорена, а не як просту лінійну функцію від часу^[3].

Істинна довгота — це окреме значення, що відповідає фактичній кутовій відстані від базового напрямку з урахуванням змінної швидкості та неколової форми орбіти. Вона є аналогом істинної аномалії, яку вимірюють відносно перицентра, як і середню аномалію.

Середня довгота, як і середня аномалія, не вимірює кут між будь-якими фізичними об'єктами. Це просто зручна рівномірна міра того, наскільки далеко своєю орбітою просунулося тіло з моменту проходження базового напрямку. Тоді як середня довгота вимірює середнє положення і передбачає постійну швидкість, істинна довгота вимірює фактичну довготу й передбачає, що тіло рухалося зі своєю фактичною швидкістю, яка змінюється вздовж його еліптичної орбіти. Різниця між цими двома величинами відома як рівняння центра^[5].

З наведених вище визначень випливає довгота перицентра:

${\displaystyle \varpi =\mathrm{\Omega }+\omega }$.

Тоді середня довгота також становить^[1]:

${\displaystyle L=\varpi +M}$.

Інша форма, яку часто використовують, — це середня довгота на дану епоху, ε. Це просто середня довгота в базовий момент часу t₀, відомий як епоха. Тоді середню довготу можна виразити так^[2]:

${\displaystyle L=ϵ+n(t-t_0)}$ або

${\displaystyle L=ϵ+nt}$, якщо t вимірюють відносно епохи t₀,

де n — середній рух, а t — будь-який довільний час. У деяких наборах елементів орбіти ε є одним із шести елементів^[2].

• Елементи орбіти
• Істинна довгота