Розклад Шура

Розклад Шура — представлення квадратної матриці ${\displaystyle A}$ з комплексними коефіцієнтами у вигляді

${\displaystyle A=UR{U}^{\ast },}$

де U — унітарна матриця, R — верхня трикутна матриця.

• Очевидно, що матриця ${\displaystyle R}$ подібна до матриці ${\displaystyle A}$, отже в них всі власні значення збігаються, а оскільки ${\displaystyle R}$ — трикутна, то вони знаходяться в неї на головній діагоналі.

• Матриця ${\displaystyle A}$ буде нормальною тоді і тільки тоді, коли матриця ${\displaystyle R}$ в розкладі Шура буде діагональною. Отже для нормальних матриць спектральний розклад та розклад Шура збігаються.

• Якщо квадратні матриці ${\displaystyle A,B}$ є переставними, то їх можна привести до трикутного вигляду одною унітарною матрицею:

${\displaystyle \mathrm{\exists }U,R_1,R_2:A=U{R}_1{U}^{\ast },B=U{R}_2{U}^{\ast }.}$

ця властивість узагальнюється на довільну кількість попарно-переставних матриць.

• Наслідком з попередньої властивості є одночасна діагоналізація переставних нормальних матриць (див. Переставні матриці).

Квадратні матриці ${\displaystyle A,B}$ можуть бути представлені у вигляді:

${\displaystyle A=Q{R}_1{Z}^{\ast },B=Q{R}_2{Z}^{\ast }}$

де

${\displaystyle Q,Z}$ — унітарні матриці,

${\displaystyle R_1,R_2}$ — верхні трикутні матриці.

Ще відомий під назвою QZ-розклад. Узагальнює сингулярний розклад матриці.

• Теорія матриць
• Розклад матриці

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2026. — 757 с.(укр.)