Розклад Річчі

У псевдорімановій геометрії розклад Річчі — це розклад тензора кривини Рімана на незвідні щодо ортогональної групи тензорні частини. Цей розклад відіграє важливу роль у рімановій і псевдорімановій геометрії.

Розклад виглядає так:

${\displaystyle R_{abcd}=S_{abcd}+E_{abcd}+C_{abcd}.}$

Його елементами є:

1. скалярна частина ${\displaystyle S_{abcd}}$,
2. напівбезслідова частина ${\displaystyle E_{abcd}}$,
3. повністю безслідова частина, має спеціальну назву тензор Вейля, ${\displaystyle C_{abcd}}$.

Кожен елемент має ті ж симетрії, що й тензор кривизни, але також володіє специфічними алгебраїчними властивостями.

Скалярна частина

${\displaystyle S_{abcd}=\frac{R}{(n-1)(n-2)}{H}_{abcd}}$

залежить тільки від скалярної кривини ${\displaystyle R={R^m}_m}$ (${\displaystyle R_{ab}}$ — тензор Річчі), і метричного тензора ${\displaystyle g_{ab}}$, який комбінується таким чином, щоб дати тензор ${\displaystyle H_{abcd}}$ з симетрією тензора кривизни:

${\displaystyle H_{abcd}=g_{ad}{g}_{cb}-g_{ac}{g}_{db}=2g_{a[d}{g}_{c]b}.}$

Напівбезслідова частина

${\displaystyle E_{abcd}=\frac{1}{n-2}(g_{ac}{R}_{bd}-g_{ad}{R}_{bc}+g_{bd}{R}_{ac}-g_{bc}{R}_{ad})=\frac{2}{n-2}(g_{a[c}{R}_{d]b}-g_{b[c}{R}_{d]a})}$

виходить аналогічним чином з безслідової частини тензора Річчі

${\displaystyle S_{ab}=R_{ab}-\frac{1}{n}{g}_{ab}R}$

і метричного тензора ${\displaystyle g_{ab}}$.

Тензор Вейля повністю безслідовий у тому сенсі, що його згортка за будь-якою парою індексів дає нуль. Герман Вейль показав, що цей тензор вимірює відхилення псевдоріманового многовиду від конформно-плоского: якщо він звертається в нуль, то многовид локально конформно-еквівалентний плоскому многовиду.

Цей розклад — чисто алгебраїчний і не включає в себе ніяких диференціювань.

У разі Лоренцевого 4-мірного многовиду (наприклад, простору-часу) тензор Ейнштейна ${\displaystyle G_{ab}=R_{ab}-1/2g_{ab}R}$ має слід, рівний скалярній кривині з протилежним знаком, так що безслідові частини тензора Ейнштейна та тензора Річчі збігаються

${\displaystyle S_{ab}=R_{ab}-\frac{1}{4}{g}_{ab}R=G_{ab}-\frac{1}{4}{g}_{ab}G.}$

Зауваження щодо термінології: позначення ${\displaystyle R_{abcd},C_{abcd}}$ — стандартні, ${\displaystyle S_{ab},E_{abcd}}$ — широко поширені, але не загальноприйняті, а тензори ${\displaystyle S_{abcd}}$ і ${\displaystyle H_{abcd}}$ не мають усталених позначень.