YaChudo

Псевдосфера

Переглядів: 0. Оновлено 03.11.2026.

Напів-псевдосфера

Псевдосфера (від «псевдо»… і грецького — куля) — поверхня сталої від'ємної кривини. Утворена обертанням трактриси навколо її асимптоти. Для достатньо малих частин псевдосфери, які не мають особливих точок, справедливими є співвідношення гіперболічної геометрії. Це відкриття Еудженіо Бельтрамі у 1868 відіграло важливу роль у розвитку неевклідових геометрій, бо дало змогу переконатись у реальності гіперболічної геометрії. Назва несправжня сфера підкреслює схожість і відмінність між псевдосферою і сферою — у сфери поверхня має сталу додатну кривину.

Теоретична псевдосфера

У загальній інтерпретації, псевдосфера радіусу R — це будь-яка поверхня кривини −1/R2, за аналогією зі сферою радіусу R, для якої поверхня кривини є 1/R2.

Термін був запропонований Еудженіо Бельтрамі у його праці 1868 року про моделі гіперболічної геометрії.[1]

Псевдосфера в природі

Квітка білої кали

Форму псевдосфери мають деякі квіти, наприклад кали[2].

Зорові рецептори ока розташовані нерівномірно, у деяких випадках зручною моделлю є сітківка у формі псевдосфери (з рівномірним розподілом рецепторів)[3].

Структури у формі псевдосфер утворюються в деяких природних породах, наприклад в глині[4]

Трактрисоїд

Трактрисоїд

Термін також використовують до певної поверхні, яка має назву трактрисоїд і є результатом обертання трактриси довкола її асимптоти. Наприклад, напів-псевдосфера (з радіусом 1) є поверхнею обертання трактриси, обмеженої параметрами[5]:

t ↦ ( t − tanh ⁡ t , sech t ) , 0 ≤ t < ∞ . {\displaystyle t\mapsto \left(t-\tanh {t},\operatorname {sech} \,{t}\right),\quad \quad 0\leq t<\infty .}

Ще 1693 року Християн Гюйгенс з'ясував, що об'єм та площа поверхні псевдосфери є скінченними[6], незважаючи на нескінченність протяжності поверхні вздовж осі обертання. Для заданого радіусу R, площа поверхні буде 4πR2, так само як і для сфери, а об'єм дорівнює 2/3πR3, тобто половині сфери з таким самим радіусом[7][8].

Див. також

Примітки

  1. ↑ Beltrami, Eugenio (1868), Saggio sulla interpretazione della geometria non euclidea, Gior. Mat. (Italian) , 6: 248—312
    (Також Beltrami, Eugenio, Opere Matematiche (Italian) , т. 1, с. 374—405, ISBN 1-4181-8434-9;
    Beltrami, Eugenio (1869), Essai d'interprétation de la géométrie noneuclidéenne, Annales de l'École Normale Supérieure (French) , 6: 251—288)
  2. ↑ Geometry, Analysis and Morphogenesis: Problems and Prospects(англ.)
  3. ↑ Human Eye Optics within a Non-Euclidian Geometrical Approach and Some Implications in Vision Prosthetics Design(англ.)
  4. ↑ Microscopic and mechanical properties of undisturbed and remoulded red clay from Guiyang, China(англ.)
  5. ↑ Bonahon, Francis (2009). Low-dimensional geometry: from Euclidean surfaces to hyperbolic knots. AMS Bookstore. с. 108. ISBN 0-8218-4816-X., Chapter 5, page 108
  6. ↑ Mangasarian, Olvi L.; Pang, Jong-Shi (1999). Computational optimization: a tribute to Olvi Mangasarian, Volume 1. Springer. с. 324. ISBN 0-7923-8480-6., Chapter 17, page 324
  7. ↑ Le Lionnais, F. (2004). Great Currents of Mathematical Thought, Vol. II: Mathematics in the Arts and Sciences (вид. 2). Courier Dover Publications. с. 154. ISBN 0-486-49579-5., Chapter 40, page 154
  8. ↑ Weisstein, Eric W. Pseudosphere(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Джерела

Джерело: стаття у Вікіпедії та історія редагувань (автори).