Похідна Лі

Похідна Лі тензорного поля ${\displaystyle Q}$ за напрямком векторного поля ${\displaystyle X}$ — головна лінійна частина приросту тензорного поля ${\displaystyle Q}$ при його перетворенні, яке індуковане локальною однопараметричною групою дифеоморфізмів многовиду, що породжена полем ${\displaystyle X}$.

Зазвичай позначається ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Q}$.

Похідна Лі повністю означається наступними своїми властивостями. Таке означення найбільш зручне для практичних обчислень, але вимагає доведення існування.

• Похідна Лі ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f}$ від скалярного поля ${\displaystyle f}$ є похідною ${\displaystyle f}$ за напрямком ${\displaystyle X}$.

  ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=Xf.}$

• Похідна Лі ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y}$ від векторного поля ${\displaystyle Y}$ є дужка Лі векторних полів.

  ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y].}$

• Для довільних векторних полів 1-форми ${\displaystyle \alpha }$ виконується рівність

  ${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}\alpha )(Y)=(d\alpha )(X,Y)+Y\alpha (X)=X\alpha (Y)-\alpha ([X,Y]).}$

• (правило Лейбніца) Для довільних тензорних полів S і T, виконується

  ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(S\otimes T)=({\mathcal {L}}_{X}S)\otimes T+S\otimes ({\mathcal {L}}_{X}T).}$

У явному виді, якщо T є тензорним полем типу (p, q) і α¹, α², ..., α^q є гладкими кодотичними векторними полями (диференціальними 1-формами), а Y₁, Y₂, ..., Y_p є гладкими векторними полями тоді похідна Лі T по напрямку X є тензорним полем того ж типу, що задається як

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}T)(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,Y_{1},Y_{2},\ldots )=X(T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,Y_{1},Y_{2},\ldots ))}$

${\displaystyle -T({\mathcal {L}}_{X}\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,Y_{1},Y_{2},\ldots )-T(\alpha _{1},{\mathcal {L}}_{X}\alpha _{2},\ldots ,Y_{1},Y_{2},\ldots )-\ldots }$

${\displaystyle -T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,{\mathcal {L}}_{X}Y_{1},Y_{2},\ldots )-T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,Y_{1},{\mathcal {L}}_{X}Y_{2},\ldots )-\ldots }$

Нехай ${\displaystyle M}$ — ${\displaystyle n}$-вимірний гладкий многовид і ${\displaystyle X}$ — векторне поле на ${\displaystyle M^{n}}$.

Розглянемо потік ${\displaystyle \Gamma _{X}^{t}:M\to M}$ за ${\displaystyle X}$, що визначається співвідношенням: ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\Gamma _{X}^{t}(p)=X_{\Gamma _{X}^{t}(p)}.}$ Для кожної точки ${\displaystyle p\in M}$ існує такий окіл ${\displaystyle m\in U\subset M}$ і число ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ,}$ що потік ${\displaystyle \Gamma _{X}^{t}}$ є визначений і взаємно однозначний для всіх ${\displaystyle n\in U}$ і ${\displaystyle t\in (-b,b)}$ і також для кожного такого t відображення ${\displaystyle \Gamma _{X}^{t}}$ буде дифеоморфізмом із U. Також якщо ${\displaystyle t,s,t+s\in (-b,b)}$ то ${\displaystyle \Gamma _{X}^{(t+s)}=\Gamma _{X}^{t}\circ \Gamma _{X}^{s}}$ тобто потік задає однопараметричну сім'ю локальних дифеоморфізмів.

Нехай тепер T є тензорним полем типу (p, q) і α¹, α², ..., α^q є гладкими кодотичними векторними полями (диференціальними 1-формами), а Y₁, Y₂, ..., Y_p є гладкими векторними полями.

Розглянемо взаємнообернені дифеоморфізми ${\displaystyle \Gamma _{X}^{t}}$ і ${\displaystyle (\Gamma _{X}^{t})^{-1}}$ задані за умов вказаних вище. Якщо ${\displaystyle m\in U}$ то ${\displaystyle T(\Gamma _{X}^{t}(m))}$ є тензором типу (p, q) на дотичному просторі многовиду у точці ${\displaystyle \Gamma _{X}^{t}(p).}$ За допомогою дифеоморфізмів ${\displaystyle \Gamma _{X}^{t}}$ і ${\displaystyle (\Gamma _{X}^{t})^{-1}}$ цей тензор можна «переслати» на дотичний простір у точці m. А саме зворотний тензора щодо відображення тензора типу (p, q) щодо дифеоморфізму ${\displaystyle \Gamma _{X}^{t}}$ (позначається ${\displaystyle (\Gamma _{X}^{t})^{*}T}$) називається тензор, що у точці p є рівним:

${\displaystyle (\Gamma _{X}^{t})^{*}T(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{q},Y_{1},\ldots ,Y_{p})_{m}=T(((\Gamma _{X}^{t})^{-1})^{*}\alpha _{1},\ldots ,((\Gamma _{X}^{t})^{-1})^{*}\alpha _{q},d\Gamma _{X}^{t}Y_{1},\ldots ,d\Gamma _{X}^{t}Y_{p})_{\Gamma _{X}^{t}(m)}.}$

У цьому виразі нижні індекси у кінці кожної сторін вказують у яких точках розглядаються відповідні тензори, ${\displaystyle d\Gamma _{X}^{t}}$ позначає диференціал відображення, а ${\displaystyle ((\Gamma _{X}^{t})^{-1})^{*}}$ — зворотне відображення диференційних форм при відображенні ${\displaystyle \Gamma _{X}^{t})^{-1},}$ тобто для довільної диференціальної форми ${\displaystyle \alpha }$ у точці m і вектора Y у точці ${\displaystyle \Gamma _{X}^{t}(m)}$ за означенням ${\displaystyle ((\Gamma _{X}^{t})^{-1})^{*}\alpha (Y)=\alpha (d(\Gamma _{X}^{t})^{-1}).}$

Похідна Лі може бути означена як

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}T={\frac {d}{dt}}(\Gamma _{X}^{t})^{*}T|_{t=0}=\lim _{t\to 0}{\frac {(\Gamma _{X}^{t})^{*}T_{\Gamma _{X}^{t}(m)}-T_{m}}{t}}.}$

Якщо тензорне поле є скалярним полем, тобто гладкою функцією f, то ${\displaystyle (\Gamma _{X}^{t})^{*}f=f(\Gamma _{X}^{t})}$ і ${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {f(\Gamma _{X}^{t})-f(m)}{t}}=Xf,}$ що доводить еквівалентність у цьому випадку.

Якщо тензорне поле є векторним полем Y, то ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]}$ і еквівалентність одержується із еквівалентності різних означень дужок Лі у статті дужка Лі векторних полів.

Доведемо також еквівалентність у випадку коваріантних тензорів (зокрема диференціальних форм). Для цього спершу зауважимо, що за означенням для будь-якого дифеоморфізму ${\displaystyle \varphi :M\to M}$ для будь якого p-коваріантного тензора ${\displaystyle T}$ і векторних полів ${\displaystyle Y_{1},\ldots ,Y_{p}}$ зворотне відображення коваріантного тензора задовольняє рівності ${\displaystyle \varphi ^{*}T(Y_{1},\ldots ,Y_{p})_{m}=T(d\varphi Y_{1},\ldots ,d\varphi Y_{p}))_{\varphi _{m}}.}$

Звідси:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{t\to 0}{\frac {(\Gamma _{X}^{t})^{*}T_{\Gamma _{X}^{t}(m)}(Y_{1},\ldots ,Y_{p})-T_{m}(Y_{1},\ldots ,Y_{p})}{t}}&=\lim _{t\to 0}{\frac {T(d\Gamma _{X}^{t}Y_{1},\ldots ,d\Gamma _{X}^{t}Y_{p})_{\Gamma _{X}^{t}(m)}-T(Y_{1},\ldots ,Y_{p})_{\Gamma _{X}^{t}(m)}}{t}}\\&+\lim _{t\to 0}{\frac {T(Y_{1},\ldots ,Y_{p})_{\Gamma _{X}^{t}(m)}-T(Y_{1},\ldots ,Y_{p})_{m}}{t}}.\end{aligned}}}$

Другий доданок у попередньому виразі за означення є рівним ${\displaystyle X(T(Y_{1},\ldots ,Y_{p}))}$ у точці m.

Перший доданок можна записати як:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{t\to 0}{\frac {T(d\Gamma _{X}^{t}Y_{1},\ldots ,d\Gamma _{X}^{t}Y_{p}))_{\Gamma _{X}^{t}(m)}-T(Y_{1},\ldots ,Y_{p}))_{\Gamma _{X}^{t}(m)}}{t}}=\\\lim _{t\to 0}{\frac {T(d\Gamma _{X}^{t}Y_{1},\ldots ,d\Gamma _{X}^{t}Y_{p}))_{\Gamma _{X}^{t}(m)}-T(Y_{1},d\Gamma _{X}^{t}Y_{2},\ldots ,d\Gamma _{X}^{t}Y_{p})))_{\Gamma _{X}^{t}(m)}}{t}}+\\\lim _{t\to 0}{\frac {T(Y_{1},d\Gamma _{X}^{t}Y_{2},\ldots ,d\Gamma _{X}^{t}Y_{p})))_{\Gamma _{X}^{t}(m)}-T(Y_{1},Y_{2},d\Gamma _{X}^{t}Y_{3},\ldots ,d\Gamma _{X}^{t}Y_{p})))_{\Gamma _{X}^{t}(m)}}{t}}+\\\ldots +\\\lim _{t\to 0}{\frac {T(Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{p-1},d\Gamma _{X}^{t}Y_{p})))_{\Gamma _{X}^{t}(m)}-T(Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{p})))_{\Gamma _{X}^{t}(m)}}{t}}=\\-\sum _{i=1}^{p}T(Y_{1},\ldots ,[X,Y_{i}],\ldots ,Y_{p}).\end{aligned}}}$

Остання рівність одержується із того, що ${\displaystyle {\frac {T(Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{i-1},d\Gamma _{X}^{t}Y_{i},\ldots ,d\Gamma _{X}^{t}Y_{p})_{\Gamma _{X}^{t}(m)}-T(Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{i-1},Y_{i},\ldots ,d\Gamma _{X}^{t}Y_{p})_{\Gamma _{X}^{t}(m)}}{t}}=T\left(Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{i-1},{\frac {d\Gamma _{X}^{t}Y_{i}-Y_{i}}{t}},\ldots ,d\Gamma _{X}^{t}Y_{p}\right)_{\Gamma _{X}^{t}(m)}.}$Тоді, зважаючи на те, що всі векторні поля ${\displaystyle (Y_{i})_{\Gamma _{X}^{t}}}$, диференціали ${\displaystyle d\Gamma _{X}^{t}}$ і тензори ${\displaystyle T_{\Gamma _{X}^{t}}}$ неперервно залежать від t, то границі ${\displaystyle (Y_{i})_{\Gamma _{X}^{t}}}$ і ${\displaystyle d\Gamma _{X}^{t}Y_{i}}$ при ${\displaystyle t\to 0}$ є рівними ${\displaystyle (Y_{i})_{m},}$ а границя ${\displaystyle T_{\Gamma _{X}^{t}}}$ є рівною ${\displaystyle T_{m}.}$

Окрім того ${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {(d\Gamma _{X}^{t}Y_{i}-Y_{i})_{\Gamma _{X}^{t}}}{t}}=\lim _{t\to 0}(d\Gamma _{X}^{t})\left({\frac {Y_{i}-(d\Gamma _{X}^{t})^{-1}Y_{i}}{t}}\right)_{m}=-\lim _{t\to 0}(d\Gamma _{X}^{t})[X,Y_{i}]_{m},}$

де остання рівність випливає із вказаної вище властивості для дужки Лі. Оскільки ${\displaystyle d\Gamma _{X}^{0}}$ є одиничним перетворенням, а ${\displaystyle d\Gamma _{X}^{t}}$ є неперервною по сукупності усіх аргументів, то остаточно ${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {(d\Gamma _{X}^{t}Y_{i}-Y_{i})_{\Gamma _{X}^{t}}}{t}}=-[X,Y_{i}]_{m}.}$

Разом одержується вираз для похідної Лі.

Зокрема для 1-форми ${\displaystyle \alpha }$ звідси відразу випливає, що ${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}\alpha )(Y)=X\alpha (Y)-\alpha ([X,Y]).}$

Для загального тензора доведення аналогічне лише застосовується більш загальна рівність ${\displaystyle \varphi ^{*}T(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{q},Y_{1},\ldots ,Y_{p})_{m}=T((\varphi ^{-1})^{*}\alpha _{1},\ldots ,(\varphi ^{-1})^{*}\alpha _{q},d\varphi Y_{1},\ldots ,d\varphi Y_{p}))_{\varphi _{m}}.}$

Після цього як і вище розписується сума і використовуються вказані вище властивості для векторів і 1-форм. В порівнянні із попереднім частковим випадком єдиною принциповою відмінністю є те, що потрібно знайти границю ${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {((\Gamma _{X}^{t})^{-1})^{*}\alpha _{i}-\alpha _{i})_{\Gamma _{X}^{t}}}{t}}.}$ Із доведеного вище, а також властивостей ${\displaystyle ((\Gamma _{X}^{t})^{-1})^{*}}$ одержується, що ${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {((\Gamma _{X}^{t})^{-1})^{*}\alpha _{i}-\alpha _{i})_{\Gamma _{X}^{t}}}{t}}=-{\mathcal {L}}_{X}\alpha .}$ В іншому доведення аналогічне до попереднього.

У локальних координатах функція у координатному околі запишеться як ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ і векторне поле ${\displaystyle X}$ через координатний базис:

${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{n}X^{i}\partial _{i},}$ де ${\displaystyle \partial _{i}}$ є диференціальним оператором для якого ${\textstyle \partial _{i}f:={\partial f \over \partial x_{i}},}$ а всі ${\displaystyle X^{i}}$ є гладкими функціями у координатному околі.

Тоді у цих координатах

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=Xf=\sum _{i=1}^{n}X^{i}\partial _{i}f.}$

Якщо ${\textstyle Y=\sum _{i=1}^{n}Y^{i}\partial _{i}}$ є іншим векторним полем, то у локальних координатах:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(X^{j}\partial _{j}Y^{i}-Y^{j}\partial _{j}X^{i}\right)\partial _{i}}$

відповідно скалярна функція при ${\displaystyle \partial _{i}}$ для цього поля є рівною:

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}Y)^{i}=\sum _{j=1}^{n}\left(X^{j}\partial _{j}Y^{i}-Y^{j}\partial _{j}X^{i}\right).}$

Довільна 1-форма у локальних координатах записується як:

${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}\omega _{i}dx_{i},}$ де ${\displaystyle dx_{i}}$ є двоїстим базисом до ${\textstyle \partial _{i},}$ а всі ${\displaystyle \omega ^{i}}$ є гладкими функціями у координатному околі.

Тоді застосувавши 1-форму ${\textstyle ({\mathcal {L}}_{X}\omega )(Y)=X\omega (Y)-\omega ([X,Y])}$ до ${\displaystyle Y=\partial _{i}}$ можна одержати значення скаляру біля ${\displaystyle dx_{i}}$:

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}\omega )_{i}=\sum _{j=1}^{n}\left(X^{j}\partial _{j}\omega _{i}-\omega _{j}\partial _{i}X^{j}\right).}$

Загальне тензорне поле T типу (p, q) є сумою елементів виду

${\displaystyle T^{a_{1}\ldots a_{p}}{}_{b_{1}\ldots b_{q}}\partial _{a_{1}}\otimes \cdots \otimes \partial _{a_{p}}\otimes dx_{b_{1}}\otimes \cdots \otimes dx_{b_{q}},}$ де всі ${\displaystyle a_{i}}$ і ${\displaystyle b_{j}}$ можуть набувати всіх значень від 1 до n, а всі ${\displaystyle T^{a_{1}\ldots a_{p}}{}_{b_{1}\ldots b_{q}}}$ є гладкими функціями у координатному околі.

Тоді для похідної Лі такі функції біля базисних елементів є рівними:

${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{p}}{}_{b_{1}\ldots b_{q}}={}&\sum _{i=1}^{n}X^{i}(\partial _{i}T^{a_{1}\ldots a_{p}}{}_{b_{1}\ldots b_{q}})\\-{}&\sum _{i=1}^{n}{\big [}(\partial _{i}X^{a_{1}})T^{ia_{2}\ldots a_{p}}{}_{b_{1}\ldots b_{q}}+\ldots +(\partial _{i}X^{a_{p}})T^{a_{1}\ldots a_{p-1}i}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}{\big ]}\\+{}&\sum _{i=1}^{n}{\big [}(\partial _{b_{1}}X^{i})T^{a_{1}\ldots a_{p}}{}_{ib_{2}\ldots b_{q}}+\ldots +(\partial _{b_{q}}X^{i})T^{a_{1}\ldots a_{p}}{}_{b_{1}\ldots b_{q-1}i}{\big ]}.\end{aligned}}}$

Нехай тензорне поле К типу (p, q) задано в неголономному репері ${\displaystyle \{e_{\alpha }\}}$, тоді його похідна Лі вздовж векторного поля Х задається наступною формулою:

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}K)_{(\beta )}^{(\alpha )}=XK_{(\beta )}^{(\alpha )}-\{K_{(\beta )}^{(\alpha )}P_{*}^{*}\}}$,

де ${\displaystyle (\alpha )=(\alpha _{1}...\alpha _{p}),(\beta )=(\beta _{1}...\beta _{q})}$, і введені наступні позначення:

${\displaystyle \{K_{(\beta )}^{(\alpha )}P_{*}^{*}\}=\sum _{s=1}^{p}K_{(\beta )}^{\alpha _{1}...\sigma ...\alpha _{p}}P_{\sigma }^{\alpha _{s}}-\sum _{s=1}^{q}K_{\beta _{1}...\sigma ...\beta _{q}}^{(\alpha )}P_{\beta _{s}}^{\sigma }}$,

${\displaystyle P_{\beta }^{\alpha }=e_{\beta }\xi ^{\alpha }-R_{\sigma \beta }^{\alpha }\xi ^{\sigma }}$

${\displaystyle R_{\alpha \beta }^{\sigma }e_{\sigma }=[e_{\alpha },e_{\beta }]}$ — об’єкт неголономності.\

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(s)}$ є ${\displaystyle \mathbb {R} }$-лінійним оператором за ${\displaystyle X}$ і за ${\displaystyle s}$, де ${\displaystyle s}$ — довільне тензорне поле.
• Похідна Лі — диференціювання на кільці тензорних полів.
• На супералгебрі диференціальних форм похідна Лі є однорідним оператором ступеня 0 і диференціюванням, тобто

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\omega \wedge \mu )={\mathcal {L}}_{X}(\omega )\wedge \mu +\omega \wedge {\mathcal {L}}_{X}(\mu ).}$

• Нехай ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ — векторні поля на многовиді, тоді оператор ${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]:={\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}-{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}}$ є диференціюванням алгебри ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$, і за означенням похідної Лі для функцій і дужки Лі векторних полів:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}-{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}=XYf-YXf=[X,Y]f.}$

Тобто:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{[X,Y]}=[{\mathcal {L}}_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]}$ для ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$.

На векторних полях за означенням ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}Z=[X,[Y,Z]]}$ і аналогічно ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}Z=[Y,[X,Z]].}$

Оскільки із антисиметричності дужок Лі і тотожності Якобі випливає, що

${\displaystyle [X,[Y,Z]]-[Y,[X,Z]]=[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]=-[Z,[X,Y]]=[[X,Y],Z]}$

то рівність ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{[X,Y]}=[{\mathcal {L}}_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]}$ виконується і для цього випадку.

Для 1-форми ${\displaystyle \alpha }$ за означенням ${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{Y}\alpha )(Z)=Y\alpha (Y)-\alpha ([Y,Z])}$ і тому

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}\alpha )(Z)=({\mathcal {L}}_{X})(Y\alpha (Y)-\alpha ([Y,Z]))=XY\alpha (Y)-X(\alpha ([Y,Z]))-Y(\alpha ([X,Z]))+\alpha ([Y,[X,Z]).}$

Віднявши від цього виразу такий самий для ${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\alpha )(Z)}$ і використавши як і вище означення і властивості дужок Лі звідси одержується рівність:

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}\alpha )(Z)-({\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\alpha )(Z)=[X,Y](\alpha (Z))-\alpha ([[X,Y],Z])=({\mathcal {L}}_{[X,Y]}\alpha )(Z).}$

Тому рівність ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{[X,Y]}=[{\mathcal {L}}_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]}$ є правильною і для 1-форм. Тоді із формули похідної Лі для загальних тензорних полів випливає правильність цієї формули для тензорних полів усіх типів.

• Формула Картана (формула гомотопії). На множині диференціальних форм правильною є рівність операторів

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}=i_{X}d+di_{X}}$.

Тут ${\displaystyle i_{v}}$ — оператор внутрішнього диференціювання форм (який за означенням для векторного поля${\displaystyle X}$ і диференціальної k-форми ${\displaystyle \omega }$ є рівним${\displaystyle (i_{X}\omega )(X_{1},\dots ,X_{k-1}):=\omega (v,X_{1},\dots ,X_{k-1}}$), а ${\displaystyle d}$ — оператор зовнішнього диференціювання.

• Для будь-якого коваріантного тензорного поля оператори похідної Лі і внутрішнього диференціювання також пов'язані формулою: ${\displaystyle \iota _{[X,Y]}={\mathcal {L}}_{X}\circ \iota _{Y}-\iota _{Y}\circ {\mathcal {L}}_{X}}$.
• Як наслідок, ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}d\omega =d{\mathcal {L}}_{X}\omega ,\;\omega \in \Lambda ^{*}(M)}$
• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(s)=\mathop {vpr} _{F}(Ts\circ X-X^{F}\circ s)}$. Тут ${\displaystyle s}$ — гладкий перетин (природного) векторного розшарування ${\displaystyle F}$ (наприклад, будь-яке тензорне поле), ${\displaystyle X^{F}}$ — підняття векторного поля ${\displaystyle X}$ на ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle \mathop {vpr} _{F}}$ — оператор вертикального проектування на ${\displaystyle F}$.

• Поле Кілінга
• Дужка Лі векторних полів

• Володимир Ігорович Арнольд. Звичайні диференціальні рівняння. — 2026. — 394 с.(укр.)

• Ш. Кобаяси, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии. — 1981. — Т. 1. — 344 с.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е, перераб. — М. : Наука, 1986. — Т. 1. — 760 с.
• Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák. Natural operations in differential geometry. — 1-е изд. — Springer, 1993. — 434 с. — ISBN 978-3540562351.
• Morita, Shigeyuki (2001), Geometry of Differential Forms, Translations of mathematical monographs, т. 201, AMS, ISBN 0-8218-1045-6