Потік Річчі

Потік Річчі — система диференціальних рівнянь, що описує деформацію ріманової метрики на многовиді.

Ця система є нелінійним аналогом рівняння теплопровідності.

Названий за аналогією з кривиною Річчі, на честь італійського математика Річчі-Курбастро.

Рівняння потоку Річчі має вигляд:

${\displaystyle \partial _{t}g_{t}=-2\cdot \mathrm {Rc} _{t}.}$

де ${\displaystyle g_{t}}$ позначає однопараметричне сімейство ріманових метрик на повному многовиді (залежить від дійсного параметра ${\displaystyle t}$), і ${\displaystyle \mathrm {Rc} _{t}}$ — її тензор Річчі.

• Формально кажучи, система рівнянь ${\displaystyle R}$, що задається потоком Річчі, не є параболічним рівнянням. Проте, існує параболічна система рівнянь ${\displaystyle R'}$, запропонована Детурком, така, що якщо ${\displaystyle g_{0}}$ ріманова метрика на компактному многовиді ${\displaystyle M}$ і ${\displaystyle g_{t}}$, ${\displaystyle g'_{t}}$ — розв'язок систем ${\displaystyle R}$ і ${\displaystyle R'}$, то ${\displaystyle (M,\;g_{t})}$ ізометричне ${\displaystyle (M,\;g_{t}')}$ для всіх ${\displaystyle t}$.
  • Ця конструкція суттєво спростила доведення існування розв'язку, вона називається «трюком Детурка».
• Аналогічно рівнянню теплопровідності (та іншим параболічним рівнянням, задавши довільні початкові умови ${\displaystyle t=0}$, можна отримати розв'язок лише в один бік ${\displaystyle t}$, а саме ${\displaystyle t\geqslant 0}$.
• На відміну від розв'язків рівняння теплопровідності, потік Річчі, як правило, не продовжується необмежено при ${\displaystyle t\to \infty }$. Розв'язок продовжується на максимальний інтервал ${\displaystyle [0,\;T)}$. У разі якщо ${\displaystyle T}$ скінченне, за наближення до ${\displaystyle T}$ кривина многовиду прямує до нескінченності, і в розв'язку формується сингулярність. Саме на дослідженні сингулярностей, в які впираються потоки Річчі, й ґрунтується доведення гіпотези Терстона.
• Псевдолокальність — якщо деякий окіл точки в початковий момент виглядає майже як ділянка евклідового простору, то ця властивість збережеться певний час у потоці Річчі в меншому околі.

• Для об'єму ${\displaystyle \mathrm {vol} _{t}}$ метрики ${\displaystyle g_{t}}$ істинне співвідношення

  ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}(\mathrm {d} \,\mathrm {vol} _{t})=-\mathrm {R} _{t}\cdot (\mathrm {d} \,\mathrm {vol} _{t}).}$

• Для скалярної кривини ${\displaystyle \mathrm {R} _{t}}$ метрики ${\displaystyle g_{t}}$ істинне співвідношення

  ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}\mathrm {R} _{t}=\triangle _{t}\mathrm {R} _{t}+|\mathrm {Rc} _{t}|^{2}}$

де ${\displaystyle |\mathrm {Rc} _{t}|^{2}}$ визначається як ${\displaystyle \sum _{i,j}(\mathrm {Rc} (e_{i},e_{j}))^{2}}$ для ортонормованого репера ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ в точці.

• Зокрема, згідно з принципом максимуму потік Річчі зберігає додатність скалярної кривини.
• Більш того, нижня грань скалярної кривини не спадає.

• Для кожного ${\displaystyle g_{0}}$-ортонормованого репера ${\displaystyle \{e^{i}\}}$ в точці ${\displaystyle x\in M}$ існує так званий супутній ${\displaystyle g_{t}}$-ортонормований репер ${\displaystyle \{e_{t}^{i}\}}$. Для тензора кривини ${\displaystyle \mathrm {Rm} _{t}}$, записаного в цьому базисі, істинне співвідношення

  ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}\mathrm {Rm} _{t}=\triangle _{t}\mathrm {Rm} _{t}+Q(\mathrm {Rm} _{t},\mathrm {Rm} _{t}),}$

де ${\displaystyle Q}$ — певна білінійна квадратична форма на просторі тензорів кривини й зі значеннями в них.

• Білінійна квадратична форма ${\displaystyle Q}$ визначає векторне поле на векторному просторі тензорів кривини — кожному тензору кривини ${\displaystyle x}$ приписується інший тензор кривини ${\displaystyle v_{x}=Q(x,x)}$. Розв'язки ЗДР

${\displaystyle {\dot {x}}=v_{x}}$

відіграють важливу роль у теорії потоків Річчі.

• Опуклі множини ${\displaystyle K}$ в просторі тензорів кривини, інваріантні відносно поворотів і такі, що, якщо в наведеному ЗДР ${\displaystyle x(0)\in K}$, то ${\displaystyle x(t)\in K}$ за ${\displaystyle t\geq 0}$, називаються інваріантними для потоку Річчі. Якщо кривина ріманової метрики на замкнутому многовиді в кожній точці належить такому ${\displaystyle K}$, то це істинне і для метрик, одержуваних з неї потоком Річчі. Міркування такого роду називаються «принципом максимуму» для потоку Річчі.

• До інваріантних множин належать:

• тензори кривини з додатною скалярною кривиною
• тензори кривини з додатним оператором кривини
• у тривимірному випадку, тензори кривини з додатною кривиною Річчі

У випадку, коли розмірність простору дорівнює 3, для кожного ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle t}$ можна підібрати репер ${\displaystyle \{e_{t}^{i}\}}$, в якому ${\displaystyle \mathrm {Rm} _{t}}$ діагоналізується в базисі ${\displaystyle e_{1}\wedge e_{2}}$, ${\displaystyle e_{2}\wedge e_{3}}$, ${\displaystyle e_{3}\wedge e_{1}}$, скажімо,

${\displaystyle \mathrm {Rm} ={\begin{pmatrix}\lambda &0&0\\0&\mu &0\\0&0&\nu \end{pmatrix}}.}$

Тоді

${\displaystyle Q(\mathrm {Rm} ,\mathrm {Rm} )={\begin{pmatrix}\lambda ^{2}+\mu \cdot \nu &0&0\\0&\mu ^{2}+\nu \cdot \lambda &0\\0&0&\nu ^{2}+\lambda \cdot \mu \end{pmatrix}}.}$

Початок дослідженню потоку Річчі поклав Гамільтон на початку 1980-х. За допомогою потоків Річчі доведено декілька гладких теорем про сферу.

Використовуючи потоки Річчі в своїх статтях^[1], опублікованих протягом 2002—2003 років, Перельману вдалося довести гіпотезу Терстона, провівши тим самим повну класифікацію компактних тривимірних многовидів, і довести гіпотезу Пуанкаре.^[2]

• Hamilton, R. S. Three Manifolds with Positive Ricci Curvature // J. Diff. Geom. 17, 255—306, 1982.
• Hamilton, R. S. Four Manifolds with Positive Curvature Operator // J. Diff. Geom. 24, 153—179, 1986.
• Perelman, Grisha (11 листопада 2002). The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications. arXiv:math.DG/0211159.
• Perelman, Grisha (10 березня 2003). Ricci flow with surgery on three-manifolds. arXiv:math.DG/0303109.
• Perelman, Grisha (17 липня 2003). Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds. arXiv:math.DG/0307245.
• Bruce Kleiner, John Lott: Notes and commentary on Perelman's Ricci flow papers (PDF; 1,5 MB), 2008.
• J. Rubinstein, R. Sinclair: Visualizating Ricci Flow on Manifolds of Revolution (PDF; 2,7 MB), 2004.
• Chow, Bennett, Peng Lu, and Lei Ni. Hamilton's Ricci flow. — American Mathematical Soc, 2006.