Пляшка Кляйна

Пляшка Кляйна — замкнена одностороння поверхня, що не має країв. Вперше описана у 1882 році німецьким математиком Ф. Кляйном.

Назва, мабуть, походить від неправильного перекладу німецького слова «поверхня Кляйна» (нім. die Kleinsche Fläche), де вираз die Fläche (поверхня) в німецькій мові близький за написанням до слова die Flasche (пляшка). Однак, нова назва стала популярною у світі і непогано відповідає формі поверхні, також стала звичною і в Німеччині.^[1]

Уявлення про пляшку Кляйна можна отримати, якщо звичайну пляшку, у дні якої зроблено отвір, доповнити з'єднувальною трубкою, одним кінцем надітою на цей виступ, а другим — на шийку пляшки (див. малюнок.). Пляшка Кляйна в тривимірному просторі завжди має лінію самоперетину.

Її можна утворити також з двох стрічок Мебіуса, склеївши їх по граничних лініях.

Пляшка Кляйна визначається просто як прямокутник, у якому об'єднано (склеєно) парами відповідні точки протилежних сторін, причому одна пара була обернена на 180°. На ілюстрації краї позначені кольорами, а напрям орієнтації стрілками.

Пляшка Кляйна не може бути реалізованою в тривимірному просторі, оскільки це призводить до появи самоперетинів поверхні. Без перетинів пляшка може бути реалізованою в чотиривимірному просторі.

Властивості поверхонь типу «пляшка Кляйна» вивчаються в топології.

Пляшка Кляйна у вигляді вісімки має досить просту параметризацію:

${\displaystyle x=\left(r+\cos {\frac {u}{2}}\sin v-\sin {\frac {u}{2}}\sin 2v\right)\cos u}$

${\displaystyle y=\left(r+\cos {\frac {u}{2}}\sin v-\sin {\frac {u}{2}}\sin 2v\right)\sin u}$

${\displaystyle z=\sin {\frac {u}{2}}\sin v+\cos {\frac {u}{2}}\sin 2v}$

У цьому вигляді самоперетин має форму геометричного кола в площині XY. Константа ${\displaystyle r}$ дорівнює радіусу кола. Параметр ${\displaystyle u}$ задає кут на площині XY і ${\displaystyle v}$ означає положення біля 8-подібного перерізу. З урахуванням наведеної вище параметризації перетин є фігурою Ліссажу зі співвідношенням амплітуд 2:1

• Топологія
• Поверхня
• Стрічка Мебіуса
• Алгебраїчна топологія

• Оптичні ілюзії. Пляшка Кляйна. [Архівовано 1 червня 2009 у Wayback Machine.]
• Анімаційний фільм про пляшку Клейна, створений у 2010 р. при Вільному Університеті м. Берлін (Freie Universität Berlin). [Архівовано 28 березня 2016 у Wayback Machine.]