Норма (математика)

Нор́ма — це функція, що задана на лінійному просторі і є узагальненням поняття довжини вектора.

Простір із заданою на ньому нормою називається нормованим простором.

Нормою у векторному просторі ${\displaystyle V}$ над полем ${\displaystyle 𝕂}$ називають відображення ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert :V\to ℝ,}$ що задовольняє наступним умовам:

1. ${\displaystyle \Vert v\Vert \ge 0,\Vert v\Vert =0}$ тільки при ${\displaystyle v=\overrightarrow{0}}$ (невід'ємність)
2. ${\displaystyle \Vert rv\Vert =|r|\Vert v\Vert ,}$ де ${\displaystyle r\in 𝕂}$ — скаляр (однорідність)
3. ${\displaystyle \Vert u+v\Vert \le \Vert u\Vert +\Vert v\Vert ,\mathrm{\forall }u,v\in V}$ (нерівність трикутника)

Ці умови також відомі як аксіоми норми.

За допомогою норми ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert ,}$ векторний простір ${\displaystyle V}$ одержує структуру метричного і топологічного нормованого векторного простору. А саме, відстань ${\displaystyle d(u,v)=\Vert u-v\Vert .}$ Зазначимо, що для будь-яких ${\displaystyle u,v,w\in V}$ виконується ${\displaystyle d(u+w,v+w)=d(u,v),}$ метрики на векторному просторі ${\displaystyle V}$ з такою властивістю називаються трансляційно інваріантними. Найважливіший спеціальний випадок — це коли метричний простір ${\displaystyle V}$ є повним відносно метрики означеної нормою, тобто коли ${\displaystyle V}$ — повний нормований лінійний простір, або банахів простір.

З геометричної думки, задання норми на ${\displaystyle V}$ — це те й саме, що і задання її одиничної кулі ${\displaystyle B(0,1)=\{v\in V:\Vert v\Vert \le 1\},}$ тобто множини всіх векторів, довжина яких не перевищує одиниці. Одинична куля норми — це випукла підмножина векторного простору ${\displaystyle V,}$ що містить нульовий вектор ${\displaystyle \overrightarrow{0}}$ серед своїх внутрішніх точок.

Нехай ${\displaystyle V={ℝ}^n}$ — це ${\displaystyle n}$-вимірний координатний векторний простір. Евклідова норма на ${\displaystyle V}$ визначається за формулою ${\displaystyle \Vert u\Vert =\sqrt{(u,u)},}$ де ${\displaystyle (u,v)=\sum _{i=1}^n{u}_i{v}_i}$ — це стандартний скалярний добуток на ${\displaystyle {ℝ}^n.}$ Перші дві аксіоми норми майже очевидні. Щодо третьої аксіоми, то вона випливає з нерівності Коші-Буняковського у ${\displaystyle {ℝ}^n.}$ Одинична куля цієї норми — це звичайна одинична куля.

Нехай ${\displaystyle V={ℝ}^n,}$⁣ але цього разу визначимо норму за формулою ${\displaystyle \Vert u\Vert ={\sup }_{i=1}^n|u_i|}$ (це так звана sup норма). Всі три аксіоми норми легко перевіряються. У цьому випадку, одинична куля норми являє собою одиничний куб ${\displaystyle \{u\in {ℝ}^n:|u_i|\le 1,1\le i\le n\},}$ що складається із тих векторів, всі координати яких містяться між ${\displaystyle -1}$ і ${\displaystyle 1.}$

Нехай ${\displaystyle V={ℝ}^n,}$ але цього разу визначимо норму за формулою ${\displaystyle \Vert u\Vert =\sum _{i=1}^n|u_i|.}$ Як і в попередньому прикладі, аксіоми норми легко перевіряються. Одинична куля цієї норми — це узагальнений октаедр, що є правильним політопом ${\displaystyle n}$-вимірного простору полярним до ${\displaystyle n}$-вимірного куба.

Нехай ${\displaystyle \Vert \cdot {\Vert }_1,\Vert \cdot {\Vert }_2}$ — дві норми визначені на одному і тому ж просторі ${\displaystyle V}$. Якщо існує таке дійсне ${\displaystyle C>0,}$ що ${\displaystyle \Vert v{\Vert }_1\le C\Vert v{\Vert }_2}$ для будь-якого ${\displaystyle v\in V,}$ то норма ${\displaystyle \Vert \cdot {\Vert }_1}$ називається підпорядкованою нормі ${\displaystyle \Vert \cdot {\Vert }_2.}$ Якщо водночас і норма ${\displaystyle \Vert \cdot {\Vert }_2}$ підпорядкована нормі ${\displaystyle \Vert \cdot {\Vert }_1}$, то такі дві норми називаються еквівалентними.

• Гельфанд І. М. Лекції з лінійної алгебри. — 2025. — 248 с.(укр.)
• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2026. — 757 с.(укр.)
• Банах С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). — К. : Радянська школа, 1948. — 216 с.(укр.)
• Березанський Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функціональний аналіз : [укр.] = Functional Analysis, Vol. I, Kyiv : Institute of Mathematics, 2010. : [пер. з англ.] : підручник. — Л. : Видавець Чижиков І. Е., 2014. — С. 559. — (Університетська бібліотека). — ISBN 978-966-2645-12-5.
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2026. — 2538 с.(укр.)