Модель Ходжкіна — Хакслі

Модель Ходжкіна — Хакслі^[1][2], або модель Годжкіна — Гакслі^[3]  — математична модель, яка описує генерацію та розповсюдження потенціалів дії в нейронах та інших електрично збуджуваних клітинах — таких, наприклад, як серцеві міоцити. Модель являє собою комплекс ординарних диференційних рівнянь, який змальовує характеристики електричного сигналу.

Модель була розроблена Аланом Годжкіном та Ендрю Гакслі в 1952 році для опису електричних механізмів, що зумовлюють генерацію та передачу нервового сигналу в гігантському аксоні кальмара^[4]. За це автори моделі отримали Нобелівську премію в галузі фізіології та медицини за 1963 рік.

Компоненти електричної схеми, що відповідає моделі Годжкіна — Гакслі, зображені на малюнку. В даній схемі кожний компонент збуджуваної клітини має свій біофізичний аналог. Подвійному ліпідному шару клітинної мембрани відповідає електроємність (С_m). Потенціалзалежні іонні канали відповідають нелінійній електричній провідності (g_n, де n — окремий вид іонних каналів); це означає, що провідність є потенціал- та час-залежною величиною. Ця складова системи, як було показано дослідниками пізніше, реалізується завдяки білковим молекулам, що утворюють потенціалзалежні іонні канали, кожному з яких притаманна деяка ймовірність відкриття, величина якої залежить від електричного потенціалу (або електричної напруги) клітинної мембрани. Канали мембранних пор відповідають пасивній провідності (g_L, де індекс L означає англ. Leak, «виток»). Електрохімічний градієнт, що спонукає іони до руху крізь мембранні канали, показаний за допомогою акумуляторів з відповідною електрорушійною силою (E_n та E_L), величина якої визначається рівнянням Нернста для відповідного виду іона. Іонні транспортери відповідають джерелам струму (I_p).

Похідна по часу від мембранного потенціалу клітинної мембрани (${\displaystyle {\dot {V}}_{m}}$) при описаних умовах пропорційна сумі струмів в повному електричному ланцюгу. Вона описується наступним рівнянням:

${\displaystyle {\dot {V}}_{m}=-{\frac {1}{C_{m}}}\left(\sum \limits _{i}^{}I_{i}\right),}$

де І_і означає величину електричного струму, що генерується окремим видом іонів.

Електричний струм, що проходить через іонні канали, може бути математично виражений наступним рівнянням:

${\displaystyle I_{i}(V_{m},t)=(V_{m}-E_{i}){g_{i}},}$

де Е_і — рівноважний потенціал і-го іонного каналу. У випадку потенціал-залежних іонних каналів канальна провідність g_і є функцією часу та потенціалу (електричної напруги) — g_n(t, V) на малюнку, в той час як пасивна провідність є величиною сталою (g_L на малюнку). Струм, генерований іонними транспортерами, залежить від виду іонів, що його переносить відповідний транспортер. Нижче наведено докладніший опис перерахованих величин:

В термінах моделі Годжкіна — Гакслі провідність потенціал-залежних каналів (gn(t, V)) описується таким чином:

${\displaystyle {g}_{n}(V_{m},t)={\bar {g}}_{n}\varphi ^{\alpha }\chi ^{\beta }\,}$

${\displaystyle {\dot {\varphi }}(V_{m},t)={\frac {1}{\tau _{\varphi }}}(\varphi _{\infty }-\varphi ),}$

${\displaystyle {\dot {\chi }}(V_{m},t)={\frac {1}{\tau _{\chi }}}(\chi _{\infty }-\chi ),}$

де ${\displaystyle \varphi }$ та ${\displaystyle \chi }$ є константами швидкості реакцій закриття та відкриття каналів, відповідно. Вони чисельно дорівнюють частці від максимальної можливої провідності через даний вид каналів, що наявна в кожний момент часу при кожній величині мембранного потенціалу. ${\displaystyle {\bar {g}}_{n}}$ є максимальним можливим значенням провідності. ${\displaystyle \alpha }$ та ${\displaystyle \beta }$ — константи, ${\displaystyle \tau }$_φ та ${\displaystyle \tau }$_χ — часові константи процесів активації та деактивації каналів, відповідно. ${\displaystyle \varphi _{\infty }}$ та ${\displaystyle \chi _{\infty }}$ є стабілізованими значеннями ${\displaystyle \varphi _{\infty }}$ та ${\displaystyle \chi _{\infty }}$ при величині часу, що прямує до нескінченності, і звичайно розраховуються з рівняння Больцмана як функція V_m.

Для характеристики іонних каналів, останні два рівняння модифікуються для умов, коли на мембрані підтримується стала величина електричного потенціалу — модифікація рівнянь Годжкіна — Гакслі, що була запропонована Марквардтом^[5]. Коли мембранний електричний потенціал підтримується на сталому рівні (voltage-clamp), для кожного значення цього потенціалу нелінійні рівняння, що описують пропуск іонів крізь канали, редукуються до лінійних диференційних рівнянь наступної форми:

${\displaystyle \varphi (t)=\varphi _{0}-[(\varphi _{0}-\varphi _{\infty })(1-e^{-t/\tau _{\varphi }})]\,}$

${\displaystyle \chi (t)=\chi _{0}-[(\chi _{0}-\chi _{\infty })(1-e^{-t/\tau _{\chi }})].}$

Таким чином, для кожного значення мембранного потенціалу V_m, величина електричного струму описується наступним рівнянням:

${\displaystyle I_{n}(t)={\bar {g}}_{n}\varphi ^{\alpha }\chi ^{\beta }(V_{m}-E_{n}).}$

Для апроксимації кривих, що їх генерують дані рівняння, до значень клітинних струмів при фіксованому значенні мембранного потенціалу використовується алгоритм Левенберґа — Марквардта^[6][7], що є модифікованим алгоритмом Ґаусса — Ньютона.

Пасивні канали відповідають за проникність мембрани для іонів в спокійному стані (не під час проведення потенціалу дії), і струм через них описується тими самими рівняннями, що і для потенціал-залежних каналів, але при умові сталої величини провідності g_i (g_i=const).

Мембранний електричний потенціал генерується за допомогою підтримання концентраційних градієнтів іонів, присутніх у фізіологічних рідинах організму, відносно клітинної мембрани. Найважливішими з білків-транспортерів, що підтримують мембранний потенціал, є натрієво-кальцієвий (транспортує один іон Са²⁺ всередину клітини в обмін на 3 іони Na⁺, що транспортуються назовні), натрієво-калієвий (транспортує три іони Na⁺ назовні в обмін на два іони К⁺ всередину), та хлорний (транспортує з клітини назовні іони Cl^-)^[8][9].

Модель Годжкіна — Гакслі є одним з найвизначніших досягнень в біофізиці та нейрофізіології 20-го століття.^{[джерело?]} З часом вона була модифікована в наступних напрямках:

• Базуючись на експериментальних даних, в неї були інкорпоровані додаткові види іонних каналів та транспортерів.
• Базуючись на даних мікроскопії високої роздільної здатності, в рівняння додані елементи, що характеризують складну морфологію відростків нервових клітин (аксонів та дендритів).

Також на загальних принципах моделі Годжкіна — Гакслі були розроблені кілька моделей, що описують взаємну активацію та деактивацію в нейронних мережах, а також молекулярну динаміку генерації потенціалу дії.^{[джерело?]}

• Інтерактивний Java-апплет моделі Годжкіна — Гакслі [Архівовано 6 лютого 2009 у Wayback Machine.]. Параметри моделі та параметри збудження можуть змінюватись; можлива побудова діаграм зміни значень змінних.
• Інтерактивний Java-апплет рівнянь Годжкіна — Гакслі Програма для численного рішення диференційних рівнянь Годжкіна — Гакслі.
• Стаття Годжкіна та Гакслі з описом моделі генерації потенціалу дії. Частина перша: Currents carried by sodium and potassium ions through the membrane of the giant axon of loligo.
• Стаття Годжкіна та Гакслі з описом моделі генерації потенціалу дії. Частина друга: The components of membrane conductance in the giant axon of loligo.
• Стаття Годжкіна та Гакслі з описом моделі генерації потенціалу дії. Частина третя: The dual effect of membrane potential on sodium conductance in the giant axon of loligo.
• Стаття Годжкіна та Гакслі з описом моделі генерації потенціалу дії. Частина четверта: A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve.
• Neural Impulses: The Action Potential In Action [Архівовано 6 лютого 2009 у Wayback Machine.]. by Garrett Neske, The Wolfram Demonstrations Project.