Ланцюг Тоди

Ланцю́г Тоди — система дискретних нелінійних рівнянь, які описують динаміку взаємопов'язаних нелінійних осциляторів. Має важливе значення у теорії коливань кристалічних ґраток.

Система у загальному випадку має вигляд:^[1]

${\displaystyle m{\ddot {r}}_{n}=2f(r_{n})-f(r_{n+1})-f(r_{n-1})}$

де ${\displaystyle r_{n}(t)}$ має сенс величини відхилення n-го осцилятора від положення рівноваги, а ${\displaystyle f(r_{i})}$ — нелінійна функція, яка має сенс повертаючої сили, діючої на осцилятор ${\displaystyle i}$. Точки означають взяття операції диференціювання.

Ланцюгом тоди називається нескінченна система рівнянь

${\displaystyle {\ddot {q}}_{j}=e^{q_{j-1}-q_{j}}-e^{q_{j}-q_{j+1}}}$

на функції ${\displaystyle q_{j}=q_{j}(t).}$

Ланцюг Тоди є гамільтоновою системою із гамільтоніаном

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}p_{j}^{2}+\sum _{j=1}^{n-1}e^{q_{j}-q_{j+1}}}$

відносно стандартної дужки Пуасона, де ${\displaystyle p_{j}={\dot {q}}_{j}.}$^[2]

Звичайний неперіодичний ланцюг Тода — це система з ${\displaystyle n}$ взаємодіючих частинок на прямій із гамільтоніаном

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}\sum _{1}^{n}p_{j}^{2}+g^{2}\sum _{1}^{n-1}\exp[2(q_{j}-q_{j+1})].}$

Для періодичного випадку така система характеризується гамільтоніаном

${\displaystyle H'={\frac {1}{2}}\sum _{1}^{n}p_{j}^{2}+g^{2}\sum _{1}^{n}\exp[2(q_{j}-q_{j+1})],\quad \quad q_{n+1}=q_{1}.}$

Тут ${\displaystyle q_{j}}$ — координата частинки ${\displaystyle j,\,\,p_{j}}$ — її імпульс.

Після переходу у систему центру мас (${\displaystyle \sum _{1}^{n}p_{j}=0}$) отримуємо систему із ${\displaystyle n-1}$ ступенем вільності. За допомогою зсувів координат ${\displaystyle q_{j}\rightarrow q_{j}+a_{j}}$ можна перейти до випадку ${\displaystyle g=1}$ для неперіодичного ланцюга й до гамільтоніану

${\displaystyle H''={\frac {1}{2}}\sum _{1}^{n}p_{j}^{2}+\sum _{j=1}^{n-1}\exp[2(q_{j}-q_{j+1})]+f^{2}\exp[2(q_{n}-q_{1})]}$

для періодичного ланцюга.

Рівняння руху у неперіодичному випадку (за ${\displaystyle g=1}$) мають вигляд

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {q}}_{j}=p_{j},\quad j={\overline {1,n}};\\{\dot {p}}_{1}=-2\exp[2(q-{1}-q_{2})],\quad {\dot {p}}_{n}=2\exp[2(q_{n-1}-q_{n})],\\{\dot {p}}_{j}=-2\exp[2(q_{j}-q_{j+1})]+2\exp[2(q_{j-1}-q_{j})],\quad j={\overline {2,(n-1)}}.\end{cases}}}$

У періодичному ж випадку маємо:

${\displaystyle {\dot {q}}_{j}=p_{j},\quad {\dot {p}}_{j}=2\{\exp[2(q_{j-1}-q_{k})]-\exp[2(q_{j}-q_{j+1})]\}.}$

Як у неперіодичному, так й у періодичному випадках мають ${\displaystyle n}$ інтегралів руху. Явний їх вигляд слідує з представлення Лакса, відкритого у роботах Флашки й Манакова.^[3]

• Теплоємність
• Рівняння синус-Ґордона
• Рівняння Кортевега де Фріза
• Метод Хіроти^[4][5]