Змінна

Змінна у математиці (англ. variable, від лат. variabilis, «що піддається змінам») — символ, зазвичай літера, що позначає невизначений математичний об'єкт^[1][2][3]. У неформальному спілкуванні кажуть, що змінна представляє або позначає об'єкт, а будь-який допустимий кандидат на роль об'єкта є значенням змінної. Значення, які може приймати змінна, зазвичай одного типу, часто значеннями є числа. Більш конкретно, задіяні значення можуть утворювати множину, таку як множина дійсних чисел.

Об'єкт не завжди повинен існувати, або може бути невизначеним, чи існує хоча б один допустимий кандидат чи ні. Наприклад, можна представити два цілі числа за допомогою змінних p і q і вимагати, щоб значення квадрата p було подвоєним квадратом q, що в алгебраїчній нотації можна записати як p² = 2 q². Остаточне доведення того, що цю рівність неможливо задовольнити, коли p і q обмежені цілими числами, не є очевидним, але воно було відоме з давніх часів і відтоді мало значний вплив на математику.

Спочатку термін змінна використовувався переважно для аргументу функції, у цьому випадку аргумент може змінюватись в області визначення функції. Це пояснює вибір цього терміну. Крім того, змінні використовуються для позначення значень функцій, наприклад ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle y=f(x)}$.

Змінна може представляти невизначене число, яке залишається фіксованим під час вирішення задачі; у цьому випадку його часто називають параметром. Змінна може позначати невідоме число, яке необхідно визначити; у цьому випадку воно називається невідомим; наприклад, у квадратному рівнянні ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}$ змінні ${\displaystyle a,b,c}$ є параметрами, а ${\displaystyle x}$ є невідомим.

Іноді один і той же символ можна використовувати для позначення як змінної, так і константи, тобто чітко визначеного математичного об'єкта. Наприклад, грецька літера π зазвичай позначає число π, але також використовується для позначення проєкції. Подібним чином літера e часто позначає число Ейлера, але її використовують для позначення непризначеного коефіцієнта для поліномів четвертого та вищого степеня. Навіть символ ${\displaystyle 1}$ використовується для позначення нейтрального елемента довільного поля. Ці два поняття використовуються майже однаково, тому зазвичай потрібно знати, чи позначає даний символ змінну чи константу^[4].

Змінні часто використовуються для представлення матриць, функцій, їхніх аргументів, множин та їхніх елементів, векторів, просторів тощо^[5].

У математичній логіці змінна є символом, який або представляє невизначену константу теорії, або підлягає кількісній оцінці^[6][7][8].

Найдавніші приклади використання «невідомої величини» відносяться принаймні до стародавніх єгиптян у московському математичному папірусі (бл. 1500 р. до н. е.) де риторично описувалися проблеми з невідомими, які називаються «задачами Аха». «Задачі Аха» включають пошук невідомих величин (відомих як «аха», «купа»), якщо відома сума цих величин та їхніх частин (папірус Райнда також містить чотири подібні задачі). Наприклад, у задачі 19 потрібно обчислити кількість, взяту 1+1⁄2 рази та додану до 4, щоб отримати 10^[9]. У сучасних математичних позначеннях: ${\textstyle {\frac {3}{2}}x+4=10}$. Приблизно в той же час у Месопотамії математика стародавнього вавилонського періоду (бл. 2000 р. до н. е. — 1500 р. до н. е.) була більш розвиненою і також вивчала квадратичні та кубічні рівняння^[10].

У працях стародавньої Греції, таких як Начала Евкліда (бл. 300 р. до н. е.), математика описувалася геометрично. Наприклад, твердження 1 Книги II Начал Евкліда містить таке твердження:

«Якщо є дві прямі, і одна з них розділена на будь-яку кількість сегментів, прямокутник, обмежений двома прямими, дорівнює прямокутникам, обмеженим нерозділеною прямою та кожним із сегментів.»

Це відповідає алгебраїчній тотожності a(b+c)=ab+ac (дистрибутивність), але описується повністю геометрично. Евклід та інші грецькі геометри також використовували окремі літери для позначення геометричних точок і фігур. Такий тип алгебри тепер іноді називають грецькою геометричною алгеброю^[10].

Діофант Александрійський^[11] започаткував форму синкопованої алгебри у своїй Арифметиці (бл. 200 р. н. е.), яка запровадила символічне маніпулювання виразами з невідомими та степенями, але без сучасних символів відношення (таких як рівність чи нерівність) або показників^[12]. Невідоме число називалося ${\displaystyle \zeta }$^[13]. Квадрат ${\displaystyle \zeta }$ мав назву ${\displaystyle \Delta ^{v}}$; куб називався ${\displaystyle K^{v}}$; четвертий степінь називався ${\displaystyle \Delta ^{v}\Delta }$; а п'ятий степінь називався ${\displaystyle \Delta K^{v}}$^[14]. Таким чином, вираз, записаний в сучасних позначеннях:$${\displaystyle x^{3}-2x^{2}+10x-1,}$$буде записаний у синкопованій нотації Діофанта як:

${\displaystyle \mathrm {K} ^{\upsilon }{\overline {\alpha }}\;\zeta {\overline {\iota }}\;\,\pitchfork \;\,\Delta ^{\upsilon }{\overline {\beta }}\;\mathrm {M} {\overline {\alpha }}\,\;}$

У 7 столітті до нашої ери Брамагупта використовував різні кольори для представлення невідомих в алгебраїчних рівняннях у Брахма-спхута-сіддханта. Один розділ цієї книги називається «Рівняння кількох кольорів»^[15]. Грецькі та інші стародавні математичні досягнення часто потрапляли в пастку тривалих періодів застою, тому революційних змін у нотації було небагато, але ситуація почала змінюватися на початку раннього нового періоду.

Наприкінці 16 століття Франсуа Вієт запропонував ідею представлення відомих і невідомих чисел літерами, які сьогодні називаються змінними, і ідею обчислення з ними так, ніби вони є числами, з метою отримання результату шляхом простої заміни. Конвенція Вієта полягала в тому, щоб використовувати приголосні для відомих значень і голосні для невідомих^[16].

У 1637 році Рене Декарт «запропонував конвенцію про представлення невідомих у рівняннях за допомогою x, y і z, а відомих — за допомогою a, b і c»^[17]. На відміну від конвенції Вієта, конвенція Декарта все ще широко використовується. Історія літери x в математиці обговорювалася в статті Scientific American 1887 року^[18].

Починаючи з 1660-х років Ісаак Ньютон і Готфрід Вільгельм Лейбніц незалежно один від одного розробили числення нескінченно малих величин, яке, по суті, полягає у вивченні того, як нескінченно мала зміна величини, що змінюється в часі і називається флюентом, викликає відповідну зміну іншої величини, яка є функцією першої змінної. Майже століття потому Леонард Ейлер закріпив термінологію числення нескінченно малих величин і ввів позначення y = f(x) для функції f, її змінної x і її значення y. До кінця 19 століття слово змінна стосувалося майже виключно аргументів і значень функцій.

У другій половині 19 століття з'ясувалося, що основи числення нескінченно малих величин не були достатньо формалізовані, щоб мати справу з очевидними парадоксами, такими як неперервна функція, яка не є диференційованою в жодній точці. Щоб вирішити цю проблему, Карл Веєрштрасс запропонував новий формалізм, який полягає в заміні інтуїтивного поняття границі формальним визначенням. Попереднім визначенням границі було «коли змінна x змінюється і прямує до a, тоді f(x) прямує до L», без будь-якого точного визначення «прямує». Веєрштрасс замінив це речення формулою

${\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists \eta >0)(\forall x)\;|x-a|<\eta }$${\displaystyle \;\Rightarrow |L-f(x)|<\epsilon ,}$

в якому жодна з п'яти змінних не розглядається як змінна.

Це статичне формулювання призвело до сучасного поняття змінної, яка є просто символом, що представляє математичний об'єкт який або невідомий, або може бути замінений будь-яким елементом заданої множини (наприклад, множини дійсних чисел).

Змінні, як правило, позначаються однією літерою, найчастіше з латинської абетки і рідше з грецької; літери можуть бути малими або великими. Після літери може стояти індекс: число (як у x₂), інша змінна (x_i), слово або абревіатура слова як позначка (x_total) або математичний вираз (x_2i+1). Під впливом інформатики, деякі назви змінних у чистій математиці складаються з кількох літер і цифр. Слідом за Рене Декартом (1596—1650), літери на початку англійської абетки, такі як a, b, c зазвичай використовуються для відомих значень і параметрів, а літери в кінці абетки, такі як x, y, z — для невідомих і змінних функцій^[19]. У друкованій математиці нормою є використання змінних і констант курсивом^[20].

Наприклад, загальна квадратична функція умовно записується як ax² + bx + c, де a, b і c — параметри (їх також називають константами, оскільки вони є сталими функціями), а x — змінна функції. Більш явним способом позначення цієї функції є x ↦ ax² + bx + c, що пояснює статус x як аргументу функції і сталість a, b та c. Оскільки c зустрічається в виразі, який є постійною функцією x, його називають постійним членом^[21].

Різні розділи та застосування математики мають свої правила іменування змінних. Змінним зі схожими ролями або значеннями часто призначаються послідовні літери або та сама літера з різними нижніми індексами. Наприклад, три осі в тривимірному координатному просторі традиційно називаються x, y і z. У фізиці назви змінних значною мірою визначаються фізичною величиною, яку вони описують, але існують різні домовленості про найменування. Конвенція, якої часто дотримуються в теорії імовірності та статистиці полягає в використанні X, Y, Z для назв випадкових величин, залишаючи x, y, z для змінних, що представляють відповідні відомі або спостережувані значення.

• a, b, c, d (іноді розширюється до e, f) для параметрів або коефіцієнтів
• a₀, a₁, a₂, … для ситуацій, коли різні літери незручні
• a_i або u_i для i-го члена послідовності або i-го коефіцієнта ряду
• f, g, h для функцій (як у f(x))
• i, j, k (іноді l або h) для змінних цілих чисел або індексів в індексованому сімействі або одиничних векторах
• l і w для довжини та ширини фігур
• l також для прямої (лінії) або в теорії чисел для простого числа, яке не дорівнює p
• n (або альтернативне позначення m) для фіксованого цілого числа, такого як кількість об'єктів або степінь полінома
• p для простого числа або імовірності
• q для степеня простого числа або частки
• r для радіуса, остачі або коефіцієнта кореляції
• t для часу
• x, y, z для трьох декартових координат точки в евклідовій геометрі або відповідних осей
• z для комплексного числа або в статистиці для змінної з нормальним розподілом
• α, β, γ, θ, φ для мір кутів
• ε (або альтернативне позначення δ) для як завгодно малого додатного числа
• λ для власного значення
• Σ (велика сигма) для суми або σ (маленька сигма) у статистиці для стандартного відхилення^[22]
• μ для середнього значення

Зазвичай змінні відіграють різні ролі в одній і тій самій математичній формулі, і для їх розрізнення були введені назви або кваліфікатори. Наприклад, загальне кубічне рівняння

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,}$

інтерпретується як таке, що має п'ять змінних: чотири з яких, a, b, c, d, вважаються заданими числами, а п'ята змінна, x, вважається невідомим числом. Щоб відрізнити їх, змінну x називають невідомою, а інші змінні називають параметрами або коефіцієнтами, або іноді константами, хоча остання термінологія є некоректною для рівняння та має бути зарезервована для функції, визначеної лівою частиною цього рівняння.

У контексті функцій термін змінна зазвичай відноситься до аргументів функцій. Зазвичай це має місце в таких реченнях, як «функція дійсної змінної», «x — змінна функції f : x ↦ f(x)», «f — функція змінної x» (це означає, що змінна x посилається на аргумент функції).

У цьому ж контексті змінні, які не залежать від x, визначають сталі функції і тому їх називають константами. Наприклад, стала інтегрування є довільною сталою функцією, яка додається до певної первісної, щоб отримати інші первісні. Через тісний зв'язок між поліномами та поліноміальними функціями, термін «константа» часто використовується для позначення коефіцієнтів полінома, які є сталими функціями невизначених величин.

Інші назви змінних включають:

• Невідоме — це змінна в рівнянні, яку потрібно знайти.
• Невизначене — це символ, який зазвичай називають змінною, що з'являється в многочлені або формальному степеневому ряді. Формально кажучи, невизначене — це не змінна, а константа в кільці многочленів або кільці формальних степеневих рядів. Однак через сильний зв'язок між поліномами або степеневими рядами та функціями, які вони визначають, багато авторів розглядають невизначені величини як особливий вид змінних.
• Параметр — це величина (зазвичай число), яка є частиною вхідних даних задачі та залишається постійною протягом усього розв'язання цієї задачі. Наприклад, у механіці маса і розмір твердого тіла є параметрами для вивчення його руху. В інформатиці, параметр має інше значення і позначає аргумент функції.
• Вільні і зв'язані змінні
• Випадкова величина — це різновид змінної, яка використовується в теорії ймовірностей та її застосуваннях.

Всі ці найменування змінних мають семантичний характер, а спосіб роботи з ними (синтаксис) є однаковим для всіх.

В диференціальному та інтегральному численні та його застосуваннях до фізики та інших наук досить поширеним є розгляд змінної, скажімо y, можливі значення якої залежать від значення іншої змінної, скажімо x. З математичної точки зору, залежна змінна y представляє значення функції від x. Щоб спростити формули, часто корисно використовувати той самий символ для залежної змінної y та функції, що відображає x на y. Наприклад, стан фізичної системи залежить від вимірюваних величин, таких як тиск, температура, положення в просторі, …, і всі ці величини змінюються, коли система розвивається, тобто вони є функцією часу. У формулах, що описують систему, ці величини представлені змінними, які залежать від часу, і, таким чином, неявно розглядаються як функції часу.

Тому у формулі залежна змінна — це змінна, яка неявно є функцією іншої (або кількох інших) змінних. Незалежна змінна — це змінна, яка не є залежною^[23].

Властивість змінної бути залежною або незалежною часто залежить від точки зору і не є її внутрішньою властивістю. Наприклад, у позначенні f(x, y, z), усі три змінні можуть бути незалежними, і це позначення представляє функцію трьох змінних. З іншого боку, якщо y і z залежать від x (є залежними змінними) тоді позначення представляє функцію однієї незалежної змінної x^[24].

Визначмо функцію f, яка приймає і повертає дійсні числа як

${\displaystyle f(x)=x^{2}+\sin(x+4)}$

тоді x є змінною, що представляє аргумент функції, який може бути будь-яким дійсним числом.

В тотожності

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n^{2}+n}{2}}}$

змінна i є змінною підсумовування, яка по черзі позначає кожне з цілих чисел 1, 2, ..., n (вона також називається індексом оскільки її варіація стосується дискретного набору значень), тоді як n є параметром (не змінюється в межах формули).

У теорії многочленів поліном 2 ступеня зазвичай позначається як ax² + bx + c, де a, b і c називаються коефіцієнтами (вони вважаються фіксованими, тобто параметрами задачі, що розглядається), а x називається змінною. Коли вивчають цей многочлен як частину поліноміальної функції, x означає аргумент функції. Коли многочлен розглядається як окремий об'єкт, x вважається невизначеним і часто пишеться з великої літери, щоб підкреслити цей статус.

Розглянемо рівняння, що описує закон ідеального газу, $${\displaystyle PV=Nk_{\text{B}}T.}$$ Це рівняння зазвичай інтерпретується як таке, що має чотири змінні та одну константу. Константою є k_B, стала Больцмана. Одна зі змінних, N, кількість частинок, є додатним цілим числом (і, отже, дискретною змінною), тоді як інші три, P, V і T, які позначають тиск, об'єм та температуру, є безперервними змінними.

Можна змінити це рівняння, щоб отримати P як функцію інших змінних, $${\displaystyle P(V,N,T)={\frac {Nk_{\text{B}}T}{V}}.}$$ Тоді P як функція інших змінних, є залежною змінною, а її аргументи, V, N і T, є незалежними змінними. Можна підійти до цієї функції більш формально та розглянути її область визначення та діапазон: у нотації функції, тут P – це функція ${\displaystyle P:\mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {N} \times \mathbb {R} _{>0}\rightarrow \mathbb {R} }$.

Проте в експерименті, щоб визначити залежність тиску від однієї з незалежних змінних, необхідно зафіксувати всі змінні, крім однієї, скажімо T. Це призводить до функції $${\displaystyle P(T)={\frac {Nk_{\text{B}}T}{V}},}$$ де N і V тепер також розглядаються як константи. Математично це є частковим застосуванням попередньої функції P.

Цей приклад ілюструє, як незалежні змінні та константи значною мірою залежать від прийнятої точки зору. Можна навіть розглядати k_B як змінну щоб отримати функцію $${\displaystyle P(V,N,T,k_{\text{B}})={\frac {Nk_{\text{B}}T}{V}}.}$$

Розгляд констант і змінних може привести до концепції просторів модулів. Для ілюстрації розглянемо рівняння параболи, $${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c,}$$ де всі a, b, c, x і y вважаються дійсними. Множина точок (x, y) у двовимірній площині, що задовольняє це рівняння, окреслює графік параболи. Тут, a, b і c розглядаються як константи, які визначають параболу, тоді як x і y є змінними.

Замість того, щоб розглядати a, b і c як змінні, ми спостерігаємо, що кожен набір із 3-кортежів (a, b, c) відповідає різній параболі. Тобто вони вказують координати у «просторі парабол», відомому як простір модулів парабол.

• Основні типи шкал
• Категорійна змінна
• Лямбда-числення
• Латентна змінна
• Фізичні константи
• Пропозиційна змінна